Determinar la mínima expresión de a/b €Q tal que a/b=2.3142 (en el 42 siendo periódico)

Para determinar la mínima expresión de una fracción a/b, donde \( \frac{a}{b} = 2.3142\overline{42} \) (el 42 es periódico), seguimos el siguiente proceso:

### Paso 1: Expresar el número decimal
El número \( 2.3142\overline{42} \) se puede descomponer en dos partes:
\[
x = 2.3142424242\ldots
\]
Donde la parte periódica es el "42".

### Paso 2: Restar para eliminar el periodo
Primero, definimos \( x = 2.3142\overline{42} \). Luego multiplicamos por una potencia de 10 que elimine el periodo.

Multiplicamos por 100 (dos decimales periódicos):
\[
100x = 231.4242\overline{42}
\]
Restamos la ecuación original de esta nueva ecuación:
\[
100x - x = 231.4242\overline{42} - 2.3142\overline{42}
\]
\[
99x = 229.11
\]
\[
x = \frac{229.11}{99}
\]

### Paso 3: Convertir a fracción exacta
Ahora, simplificamos la fracción \( \frac{229.11}{99} \). Convertimos \( 229.11 \) a una fracción:
\[
229.11 = \frac{22911}{100}
\]
Por lo tanto, tenemos:
\[
x = \frac{\frac{22911}{100}}{99} = \frac{22911}{9900}
\]

### Paso 4: Simplificar la fracción
Simplificamos \( \frac{22911}{9900} \) buscando el máximo común divisor (MCD) de 22911 y 9900. El MCD es 99, por lo que la fracción simplificada es:
\[
x = \frac{22911 \div 99}{9900 \div 99} = \frac{231}{100}
\]

### Resultado final
La mínima expresión de \( 2.3142\overline{42} \) es la fracción \( \frac{231}{100} \).

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Aquí tienes 5 preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se determina el MCD para simplificar fracciones?
2. ¿Qué significa que un decimal sea periódico?
3. ¿Cómo se convierte un número decimal exacto en fracción?
4. ¿Cuál es la diferencia entre decimales periódicos y no periódicos?
5. ¿Cómo afecta el número de dígitos periódicos al proceso de conversión?

**Tip**: Si un número tiene parte periódica, siempre puedes usar potencias de 10 para aislar la parte repetitiva y facilitar la conversión a fracción.

Determinar la mínima expresión de a/b ∈ Q tal que a/b = 2.3142 (en el 42 siendo periódico)

Learn how to convert the repeating decimal 2.3142 (with 42 repeating) to its simplest fractional form. This tutorial involves concepts of fractions, repeating decimals, algebraic manipulation, and simplification. Suitable for students in Grades 9-12.

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