Pour résoudre l'inéquation suivante :

\[
(x+1)(2x-4) \geq 0
\]

Nous allons procéder en plusieurs étapes :

### 1. Déterminer les solutions de l'équation associée
On commence par résoudre l'équation :

\[
(x+1)(2x-4) = 0
\]

Cela se produit lorsque l'un des deux facteurs est égal à 0 :
- \( x + 1 = 0 \) \(\Rightarrow\) \( x = -1 \)
- \( 2x - 4 = 0 \) \(\Rightarrow\) \( x = 2 \)

Les racines de l'équation sont donc \( x = -1 \) et \( x = 2 \).

### 2. Étudier le signe de chaque facteur
Les racines divisent la droite réelle en trois intervalles : \( (-\infty, -1) \), \( (-1, 2) \) et \( (2, +\infty) \). Il faut maintenant étudier le signe de \( (x+1) \) et \( (2x-4) \) sur ces intervalles :

- Sur \( (-\infty, -1) \) :
  - \( x+1 < 0 \)
  - \( 2x-4 < 0 \)
  - Produit : \( (x+1)(2x-4) > 0 \)

- Sur \( (-1, 2) \) :
  - \( x+1 > 0 \)
  - \( 2x-4 < 0 \)
  - Produit : \( (x+1)(2x-4) < 0 \)

- Sur \( (2, +\infty) \) :
  - \( x+1 > 0 \)
  - \( 2x-4 > 0 \)
  - Produit : \( (x+1)(2x-4) > 0 \)

### 3. Inclure les points où l'expression est égale à zéro
Aux points \( x = -1 \) et \( x = 2 \), l'expression est égale à 0 puisque l'un des facteurs est nul.

### 4. Conclusion
L'inéquation \( (x+1)(2x-4) \geq 0 \) est vérifiée lorsque l'expression est positive ou nulle, c'est-à-dire pour :

\[
x \in (-\infty, -1] \cup [2, +\infty)
\]

### Résultat final :
La solution de l'inéquation dans \( \mathbb{R} \) est :

\[
x \in (-\infty, -1] \cup [2, +\infty)
\]

---

Avez-vous des questions ou souhaitez-vous plus de détails ?  

Voici quelques questions similaires que vous pouvez essayer :
1. Résoudre \((x - 3)(x + 2) > 0\)
2. Résoudre \(x^2 - 4x + 3 \geq 0\)
3. Résoudre \((x - 5)(2x + 1) \leq 0\)
4. Résoudre \((3x - 1)(x + 7) > 0\)
5. Résoudre \(2x^2 - 8x \geq 0\)

**Tip**: Lorsque vous résolvez une inéquation produit, pensez toujours à étudier les signes des facteurs dans chaque intervalle formé par les racines.

Explore how to solve the inequality (x+1)(2x-4) ≥ 0 through factoring and sign analysis. This solution includes step-by-step reasoning, studying intervals, and applying the zero product property. Ideal for students in Grades 9-11.

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