08. En el siguiente polinomio:
P(x;y) = 7x9y2 − 5x4y8 + 3x6y7 + z18
Indicar verdadero (V) o falso (F):
I. El GR(x) = GR(y)+1
II. El GA(P) = 18
III. La suma de coeficientes de P(x; y)
es 6.
A) VVF B) VVV C) VFF
D) FFV E) VFV

Analicemos cada una de las afirmaciones para determinar si son verdaderas (V) o falsas (F):

**Polinomio dado:**  
\[ P(x, y, z) = 7x^9y^2 − 5x^4y^8 + 3x^6y^7 + z^{18} \]

### I. **El GR(x) = GR(y) + 1**

Para cada variable, el **grado relativo** (GR) se define como el mayor exponente de esa variable en el polinomio.

- **GR(x):**  
  El mayor exponente de \( x \) es 9 (en el término \( 7x^9y^2 \)).
  
- **GR(y):**  
  El mayor exponente de \( y \) es 8 (en el término \( -5x^4y^8 \)).

Entonces, **GR(x) = 9** y **GR(y) = 8**.

Verificamos si **GR(x) = GR(y) + 1**:  
\[ 9 = 8 + 1 \]  
Esto es **verdadero**.

### II. **El GA(P) = 18**

El **grado absoluto** (GA) de un polinomio es el mayor de los grados absolutos de sus términos, donde el grado absoluto de un término es la suma de los exponentes de todas las variables en ese término.

- **Primer término:** \( 7x^9y^2 \)  
  Grado absoluto: \( 9 + 2 = 11 \)
  
- **Segundo término:** \( -5x^4y^8 \)  
  Grado absoluto: \( 4 + 8 = 12 \)
  
- **Tercer término:** \( 3x^6y^7 \)  
  Grado absoluto: \( 6 + 7 = 13 \)
  
- **Cuarto término:** \( z^{18} \)  
  Grado absoluto: \( 18 \) (solo tiene una variable)

El mayor grado absoluto es 18, por lo tanto, **GA(P) = 18**. Esto es **verdadero**.

### III. **La suma de coeficientes de P(x, y) es 6.**

Para encontrar la suma de los coeficientes de un polinomio, evaluamos el polinomio en \( x = 1 \), \( y = 1 \) y \( z = 1 \):

\[ P(1, 1, 1) = 7(1)^9(1)^2 - 5(1)^4(1)^8 + 3(1)^6(1)^7 + (1)^{18} \]
\[ P(1, 1, 1) = 7 - 5 + 3 + 1 = 6 \]

La suma de los coeficientes es **6**, lo que es **verdadero**.

### **Conclusión**

Las respuestas son:

1. Verdadero (V)
2. Verdadero (V)
3. Verdadero (V)

La opción correcta es **B) VVV**.

¿Quieres más detalles o tienes alguna pregunta?

**Preguntas relacionadas:**
1. ¿Qué otros tipos de grados existen en los polinomios?
2. ¿Cómo se define el grado de un polinomio cuando hay más de dos variables?
3. ¿Qué sucede si cambiamos el exponente de alguna variable? ¿Cómo afectaría esto al GR y GA?
4. ¿Cómo se calcula el GR de un polinomio con más de dos variables?
5. ¿Qué significa la suma de coeficientes en un contexto real?

**Tip:** Recuerda que la suma de coeficientes de un polinomio se obtiene al evaluar todas las variables en 1.

Explore the analysis of polynomials including their degrees and the sum of coefficients. Understand how to determine the degree relative to variables and calculate the sum of coefficients in a polynomial. Suitable for high school students studying algebra.

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