resuelve todos los ejercicios del cocumento desde el 1 hasta el final

Voy a resolver todos los ejercicios del documento. Aquí están los resultados detallados:

### Ejercicio 1:
Dados los vectores \( \mathbf{A} = \mathbf{a}_x + 3\mathbf{a}_z \) y \( \mathbf{B} = 5\mathbf{a}_x - 6\mathbf{a}_z \):

**a) \( |\mathbf{A} + \mathbf{B}| \)**

Primero sumamos los vectores \( \mathbf{A} + \mathbf{B} \):

\[
\mathbf{A} + \mathbf{B} = (\mathbf{a}_x + 3\mathbf{a}_z) + (5\mathbf{a}_x - 6\mathbf{a}_z) = (1 + 5)\mathbf{a}_x + (3 - 6)\mathbf{a}_z = 6\mathbf{a}_x - 3\mathbf{a}_z
\]

El módulo es:

\[
|\mathbf{A} + \mathbf{B}| = \sqrt{(6)^2 + (-3)^2} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}
\]

**b) \( 5\mathbf{A} - \mathbf{B} \)**

Multiplicamos \( \mathbf{A} \) por 5 y restamos \( \mathbf{B} \):

\[
5\mathbf{A} - \mathbf{B} = 5(\mathbf{a}_x + 3\mathbf{a}_z) - (5\mathbf{a}_x - 6\mathbf{a}_z) = (5\mathbf{a}_x + 15\mathbf{a}_z) - (5\mathbf{a}_x - 6\mathbf{a}_z)
\]

Simplificando:

\[
5\mathbf{A} - \mathbf{B} = 15\mathbf{a}_z + 6\mathbf{a}_z = 21\mathbf{a}_z
\]

**c) La componente de \( \mathbf{A} \) a lo largo de \( \mathbf{a}_y \)**

Como \( \mathbf{A} = \mathbf{a}_x + 3\mathbf{a}_z \), no tiene componente en \( \mathbf{a}_y \), así que:

\[
\text{Componente de } \mathbf{A} \text{ a lo largo de } \mathbf{a}_y = 0
\]

**d) Un vector unitario paralelo a \( 3\mathbf{A} + \mathbf{B} \)**

Primero calculamos \( 3\mathbf{A} + \mathbf{B} \):

\[
3\mathbf{A} + \mathbf{B} = 3(\mathbf{a}_x + 3\mathbf{a}_z) + (5\mathbf{a}_x - 6\mathbf{a}_z) = (3\mathbf{a}_x + 9\mathbf{a}_z) + (5\mathbf{a}_x - 6\mathbf{a}_z) = 8\mathbf{a}_x + 3\mathbf{a}_z
\]

El vector unitario paralelo es:

\[
\hat{\mathbf{u}} = \frac{8\mathbf{a}_x + 3\mathbf{a}_z}{\sqrt{(8)^2 + (3)^2}} = \frac{8\mathbf{a}_x + 3\mathbf{a}_z}{\sqrt{64 + 9}} = \frac{8\mathbf{a}_x + 3\mathbf{a}_z}{\sqrt{73}}
\]

### Ejercicio 2:
Este ejercicio ya fue resuelto previamente. Las respuestas fueron:

a) \( \vec{r}_P = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} \).  
b) \( \vec{d}_{PQ} = \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \).  
c) \( d_{PQ} = \sqrt{11} \).

### Ejercicio 3:
Dados los puntos \( P(1, -3, 5) \), \( Q(2, 4, 6) \) y \( R(0, 3, 8) \):

**a) Los vectores de posición de \( P \) y \( Q \):**

\[
\vec{r}_P = \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 5 \end{pmatrix}, \quad \vec{r}_Q = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}
\]

**b) El vector de distancia \( \vec{d}_{QR} \):**

\[
\vec{d}_{QR} = \vec{r}_R - \vec{r}_Q = \begin{pmatrix} 0 - 2 \\ 3 - 4 \\ 8 - 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}
\]

### Ejercicio 4:
Calcular el módulo y dirección del vector \( \mathbf{A} \), y demostrar que \( \mathbf{A} \) y \( \vec{A} \) son iguales.

**Módulo de \( \mathbf{A} \):**

\[
\mathbf{A} = (5\mathbf{a}_x + 6\mathbf{a}_y)
\]

El módulo es:

\[
|\mathbf{A}| = \sqrt{5^2 + 6^2} = \sqrt{25 + 36} = \sqrt{61}
\]

**Dirección de \( \mathbf{A} \):**

La dirección se encuentra con el vector unitario:

\[
\hat{\mathbf{A}} = \frac{\mathbf{A}}{|\mathbf{A}|} = \frac{5\mathbf{a}_x + 6\mathbf{a}_y}{\sqrt{61}}
\]

**Igualdad de \( \mathbf{A} \) y \( \vec{A} \):**

Dado que \( \mathbf{A} \) y \( \vec{A} \) representan el mismo vector, \( \mathbf{A} = \vec{A} \).

### Ejercicio 5:
A partir de los vectores \( A = (5, 6) \), \( \vec{B} = (8, 3) \), \( C = (4, 1) \), \( \vec{D} = (10, 15) \) y \( \vec{E} = (20, 16) \):

**a) \( \vec{F} = A + \vec{B} \):**

\[
\vec{F} = (5 + 8, 6 + 3) = (13, 9)
\]

**b) \( \vec{G} = C + \vec{D} \):**

\[
\vec{G} = (4 + 10, 1 + 15) = (14, 16)
\]

**c) \( \vec{H} = \vec{E} - \vec{D} \):**

\[
\vec{H} = (20 - 10, 16 - 15) = (10, 1)
\]

**d) \( \vec{I} = A + \vec{B} - \vec{D} + C \):**

\[
\vec{I} = (5 + 8 - 10 + 4, 6 + 3 - 15 + 1) = (7, -5)
\]

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo se define un vector perpendicular a \( 3\mathbf{A} + \mathbf{B} \)?
2. ¿Cómo se determina la dirección de un vector dado su módulo?
3. ¿Cómo calcular el ángulo entre los vectores \( \mathbf{A} \) y \( \mathbf{B} \)?
4. ¿Qué propiedades geométricas tiene el vector de distancia entre dos puntos en el espacio tridimensional?
5. ¿Cómo se puede demostrar la ortogonalidad entre dos vectores?

### Tip:
Siempre verifica la dirección y la magnitud de un vector antes de interpretar su significado en problemas de física o geometría.

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