¿Cuál igualdad es correcta en los ejercicios 1 a 6? ¿Por qué? ¿Qué expresión falta en los ejercicios 7 al 12?
1. (x + 4 )(x + 4 ) = x^2 + 16 
2. (x – 2 ) ( x – 5 ) = x^2 + 10x – 10
3. (x + 5)(x – 5) = (x – 5)^2 
4. (x – 1 ) ( x – 7 ) = ( x – 1)^2 – ( x – 7 )
5. (2x + a^2) (2x + a^2) = 4x^2 + 4xa^2 + a^4 
6. (2x – 1 ) (x + 1/5) = 2x^2 + 3/5x – 1/5
7. (x^2 – y^2) / (¿?) = x – y 
8. (x^3 + 3yx^2 + 3xy^2 + y^3) / (¿?) = x + y
9. ( x + a ) ( ¿?) = x^2 + (a + b)x + ab 
10. (x^3 – y^3) / (¿?) = x^2 + xy + y^2
11. ( x + a ) ( ¿?) = x^2 + 2ax + a^2
12. (x^3 – 3yx^2 + 3xy^2 – y^3) / (¿?) = (x – y)^2

Vamos a analizar cada ejercicio para determinar cuál igualdad es correcta en los ejercicios 1 a 6, y qué expresión falta en los ejercicios 7 al 12.

### Ejercicios 1 a 6: Identificación de la igualdad correcta.

1. **(x + 4)(x + 4) = x² + 16**
   - Incorrecto. Al realizar el producto notable, obtenemos: 
     \[
     (x + 4)(x + 4) = x^2 + 8x + 16
     \]
     Aquí falta el término \(8x\).

2. **(x – 2)(x – 5) = x² + 10x – 10**
   - Incorrecto. Al expandir los factores:
     \[
     (x - 2)(x - 5) = x^2 - 5x - 2x + 10 = x^2 - 7x + 10
     \]
     La igualdad dada es incorrecta.

3. **(x + 5)(x – 5) = (x – 5)²**
   - Incorrecto. El producto de la suma y la diferencia de dos términos es una diferencia de cuadrados:
     \[
     (x + 5)(x - 5) = x^2 - 25
     \]
     La expresión correcta es \(x^2 - 25\), no \((x - 5)^2\).

4. **(x – 1)(x – 7) = (x – 1)² – (x – 7)**
   - Incorrecto. Al expandir ambos lados:
     \[
     (x - 1)(x - 7) = x^2 - 7x - x + 7 = x^2 - 8x + 7
     \]
     Mientras que \((x - 1)^2 - (x - 7)\) sería \(x^2 - 2x + 1 - x + 7 = x^2 - 3x + 8\), que no es igual a la expansión de la izquierda.

5. **(2x + a²)(2x + a²) = 4x² + 4xa² + a⁴**
   - Correcto. Este es un producto notable correctamente expandido:
     \[
     (2x + a^2)(2x + a^2) = 4x^2 + 4xa^2 + a^4
     \]
     Por lo tanto, esta igualdad es correcta.

6. **(2x – 1)(x + 1/5) = 2x² + 3/5x – 1/5**
   - Incorrecto. Al expandir:
     \[
     (2x - 1)(x + \frac{1}{5}) = 2x^2 + \frac{2x}{5} - x - \frac{1}{5} = 2x^2 - \frac{3x}{5} - \frac{1}{5}
     \]
     La igualdad dada es incorrecta.

### Ejercicios 7 a 12: Identificación de la expresión faltante.

7. **(x² – y²) / (¿?) = x – y**
   - Sabemos que \(x^2 - y^2\) es una diferencia de cuadrados, por lo que se factoriza como:
     \[
     \frac{x^2 - y^2}{(x + y)} = x - y
     \]
     La expresión faltante es **\(x + y\)**.

8. **(x³ + 3yx² + 3xy² + y³) / (¿?) = x + y**
   - Esto corresponde al desarrollo de \((x + y)^3\), por lo que la expresión faltante es:
     \[
     \frac{(x + y)^3}{(x + y)} = x + y
     \]
     La expresión faltante es **\(x + y\)**.

9. **(x + a)(¿?) = x² + (a + b)x + ab**
   - Esto es el resultado de la factorización de un trinomio cuadrado, por lo que la expresión faltante es \((x + b)\), ya que:
     \[
     (x + a)(x + b) = x^2 + (a + b)x + ab
     \]
     La expresión faltante es **\(x + b\)**.

10. **(x³ – y³) / (¿?) = x² + xy + y²**
    - Sabemos que \(x^3 - y^3\) es una diferencia de cubos, que se factoriza como:
      \[
      \frac{x^3 - y^3}{(x - y)} = x^2 + xy + y^2
      \]
      La expresión faltante es **\(x - y\)**.

11. **(x + a)(¿?) = x² + 2ax + a²**
    - Esto corresponde al cuadrado de un binomio, por lo que la expresión faltante es:
      \[
      (x + a)(x + a) = x^2 + 2ax + a^2
      \]
      La expresión faltante es **\(x + a\)**.

12. **(x³ – 3yx² + 3xy² – y³) / (¿?) = (x – y)²**
    - Esta es la factorización del cubo negativo, así que el numerador es \((x - y)^3\). Al dividir, la expresión faltante es:
      \[
      \frac{(x - y)^3}{(x - y)} = (x - y)^2
      \]
      La expresión faltante es **\(x - y\)**.

### Resumen
- La única igualdad correcta en los ejercicios 1 a 6 es la **5**.
- Las expresiones faltantes en los ejercicios 7 a 12 son:
   1. **\(x + y\)**
   2. **\(x + y\)**
   3. **\(x + b\)**
   4. **\(x - y\)**
   5. **\(x + a\)**
   6. **\(x - y\)**

¿Te gustaría una explicación más detallada de alguno de los ejercicios?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se factoriza una diferencia de cuadrados?
2. ¿Qué es el desarrollo de un binomio al cubo?
3. ¿Cómo se simplifica una expresión algebraica utilizando factorización?
4. ¿Qué son los productos notables y cómo se usan?
5. ¿Cómo se factoriza un trinomio cuadrado perfecto?

**Tip:** Al expandir productos de binomios, siempre asegúrate de no olvidar los términos cruzados (como \(2ab\) en \((a + b)^2\)).

¿Cuál igualdad es correcta en los ejercicios 1 a 6? ¿Por qué? ¿Qué expresión falta en los ejercicios 7 al 12?

Resuelve ejercicios algebraicos sobre productos notables y factorización. Aprende a identificar igualdades correctas y encontrar expresiones faltantes. Este contenido cubre conceptos clave como diferencia de cuadrados, expansión cuadrática, y factorización de cubos. Dirigido a estudiantes de 9° a 12° grado.

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