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Resuelve las divisiones algebraicas del 49 al 56 explicando en palabras y paso a paso que términos se usaron y cuántos términos se usaron 

Voy a resolver los ejercicios del 49 al 56, paso a paso, explicando los términos utilizados en cada división algebraica.

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### **Ejercicio 49:**
\[
\frac{4x^3 - 3x^2}{2x}
\]

**Paso 1: Descomposición de términos**
- El numerador es \(4x^3 - 3x^2\).
- El denominador es \(2x\).
  
**Paso 2: Dividimos cada término del numerador por el denominador**:
\[
\frac{4x^3}{2x} = 2x^2 \quad \text{y} \quad \frac{3x^2}{2x} = \frac{3x}{2}
\]

**Resultado**:
\[
2x^2 - \frac{3x}{2}
\]

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### **Ejercicio 50:**
\[
\frac{15x^5 - 25x^3}{5x^2}
\]

**Paso 1: Factorización**
- En el numerador, sacamos el factor común: \(5x^3(3x^2 - 5)\).

**Paso 2: Simplificación**
\[
\frac{5x^3(3x^2 - 5)}{5x^2}
\]
Cancelamos \(5x^2\) en el numerador y el denominador:
\[
x(3x^2 - 5)
\]

**Resultado**:
\[
3x^3 - 5x
\]

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### **Ejercicio 51:**
\[
\frac{x^3 + 7x^2 - 5x + 4}{x^2}
\]

**Paso 1: Dividimos cada término por \(x^2\)**:
- \(\frac{x^3}{x^2} = x\)
- \(\frac{7x^2}{x^2} = 7\)
- \(\frac{-5x}{x^2} = \frac{-5}{x}\)
- \(\frac{4}{x^2} = \frac{4}{x^2}\)

**Resultado**:
\[
x + 7 - \frac{5}{x} + \frac{4}{x^2}
\]

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### **Ejercicio 52:**
\[
\frac{y^4 + 6y^3 - 7y^2 + 9y - 3}{3y^2}
\]

**Paso 1: Dividimos cada término por \(3y^2\)**:
- \(\frac{y^4}{3y^2} = \frac{y^2}{3}\)
- \(\frac{6y^3}{3y^2} = 2y\)
- \(\frac{-7y^2}{3y^2} = -\frac{7}{3}\)
- \(\frac{9y}{3y^2} = \frac{3}{y}\)
- \(\frac{-3}{3y^2} = \frac{-1}{y^2}\)

**Resultado**:
\[
\frac{y^2}{3} + 2y - \frac{7}{3} + \frac{3}{y} - \frac{1}{y^2}
\]

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### **Ejercicio 53:**
\[
\frac{t^2 - 2t + 7}{\sqrt{t}}
\]

**Paso 1: Descomponemos el denominador**
- Sabemos que \(\sqrt{t} = t^{1/2}\), por lo que dividimos cada término.

**Paso 2: División de cada término**:
- \(\frac{t^2}{\sqrt{t}} = t^{3/2}\)
- \(\frac{-2t}{\sqrt{t}} = -2t^{1/2}\)
- \(\frac{7}{\sqrt{t}} = 7t^{-1/2}\)

**Resultado**:
\[
t^{3/2} - 2t^{1/2} + 7t^{-1/2}
\]

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### **Ejercicio 54:**
\[
\frac{t^3 + 2t^2 - 3t + 1}{t\sqrt{t}}
\]

**Paso 1: Reescribimos \(t\sqrt{t} = t^{3/2}\)**.

**Paso 2: Dividimos cada término del numerador por \(t^{3/2}\)**:
- \(\frac{t^3}{t^{3/2}} = t^{3/2}\)
- \(\frac{2t^2}{t^{3/2}} = 2t^{1/2}\)
- \(\frac{-3t}{t^{3/2}} = -3t^{-1/2}\)
- \(\frac{1}{t^{3/2}} = t^{-3/2}\)

**Resultado**:
\[
t^{3/2} + 2t^{1/2} - 3t^{-1/2} + t^{-3/2}
\]

---

### **Ejercicio 55:**
\[
\frac{6x^2y - 8xy^2}{2xy} + \frac{x^3y^2 + 2x^2y^3}{x^2y^2}
\]

**Primera fracción**:
\[
\frac{6x^2y - 8xy^2}{2xy}
\]
Dividimos cada término:
- \(\frac{6x^2y}{2xy} = 3x\)
- \(\frac{-8xy^2}{2xy} = -4y\)

**Segunda fracción**:
\[
\frac{x^3y^2 + 2x^2y^3}{x^2y^2}
\]
Dividimos cada término:
- \(\frac{x^3y^2}{x^2y^2} = x\)
- \(\frac{2x^2y^3}{x^2y^2} = 2y\)

**Resultado**:
\[
(3x - 4y) + (x + 2y) = 4x - 2y
\]

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### **Ejercicio 56:**
\[
\frac{3x^4 - 9x^2y^2}{3x^3y} - \frac{4x^3 - 8xy^2}{2x^2y}
\]

**Primera fracción**:
\[
\frac{3x^4 - 9x^2y^2}{3x^3y}
\]
Dividimos cada término:
- \(\frac{3x^4}{3x^3y} = \frac{x}{y}\)
- \(\frac{-9x^2y^2}{3x^3y} = \frac{-3y}{x}\)

**Segunda fracción**:
\[
\frac{4x^3 - 8xy^2}{2x^2y}
\]
Dividimos cada término:
- \(\frac{4x^3}{2x^2y} = \frac{2x}{y}\)
- \(\frac{-8xy^2}{2x^2y} = \frac{-4y}{x}\)

**Resultado**:
\[
\left( \frac{x}{y} - \frac{3y}{x} \right) - \left( \frac{2x}{y} - \frac{4y}{x} \right)
\]
Reorganizando:
\[
\frac{x - 2x}{y} + \frac{-3y + 4y}{x} = \frac{-x}{y} + \frac{y}{x}
\]

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¿Tienes preguntas o necesitas más detalles sobre los pasos?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se aplica la factorización en divisiones algebraicas?
2. ¿Qué sucede si un denominador contiene varias variables?
3. ¿Cómo se simplifica una fracción algebraica con raíces?
4. ¿Cómo factorizar un polinomio de grado mayor antes de dividir?
5. ¿Qué técnica se usa para resolver divisiones largas entre polinomios?

### Tip:
Siempre intenta factorizar términos comunes antes de simplificar una división algebraica para evitar errores.

Resuelve las divisiones algebraicas del 49 al 56 explicando en palabras y paso a paso que términos se usaron y cuántos términos se usaron

Detailed step-by-step solutions for algebraic divisions from exercises 49 to 56, including explanations of terms used and simplifications. These problems cover essential algebraic concepts such as polynomial division and simplification of rational expressions.

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