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Resuelve los ejercicios de la 49 al 56 explicando paso a paso y explicando que propiedades uso para cada una 

Voy a resolver los ejercicios del 49 al 56 de manera detallada y explicando los pasos que se siguen, además de las propiedades matemáticas que se utilizan en cada caso.

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**Ejercicio 49:**  
\[
\frac{4a^3 - 3a^2}{2x}
\]
**Paso 1:** Simplificación.  
En este caso, se trata de una fracción algebraica. No hay términos semejantes en el numerador, por lo que no se puede simplificar más. La fracción queda tal como está.

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**Ejercicio 50:**  
\[
\frac{15x^5 - 25x^3}{5x^2}
\]
**Paso 1:** Factorización del numerador.  
\[
15x^5 - 25x^3 = 5x^3(3x^2 - 5)
\]
**Paso 2:** Simplificación con el denominador.  
Ahora dividimos ambos términos por \(5x^2\):
\[
\frac{5x^3(3x^2 - 5)}{5x^2} = x(3x^2 - 5)
\]
**Resultado:**
\[
x(3x^2 - 5)
\]
**Propiedades usadas:** Factorización por un término común y simplificación de fracciones.

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**Ejercicio 51:**  
\[
\frac{x^3 + 7x^2 - 5x + 4}{x^2}
\]
**Paso 1:** División de cada término del numerador entre el denominador.  
\[
\frac{x^3}{x^2} + \frac{7x^2}{x^2} - \frac{5x}{x^2} + \frac{4}{x^2}
\]
**Paso 2:** Simplificación de cada término.  
\[
x + 7 - \frac{5}{x} + \frac{4}{x^2}
\]
**Resultado final:**
\[
x + 7 - \frac{5}{x} + \frac{4}{x^2}
\]
**Propiedades usadas:** División de polinomios término a término.

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**Ejercicio 52:**  
\[
\frac{y^4 + 6y^3 - 7y^2 + 9y - 3}{3y^2}
\]
**Paso 1:** División de cada término del numerador entre el denominador.  
\[
\frac{y^4}{3y^2} + \frac{6y^3}{3y^2} - \frac{7y^2}{3y^2} + \frac{9y}{3y^2} - \frac{3}{3y^2}
\]
**Paso 2:** Simplificación de cada término.  
\[
\frac{y^2}{3} + 2y - \frac{7}{3} + \frac{3}{y} - \frac{1}{y^2}
\]
**Resultado final:**
\[
\frac{y^2}{3} + 2y - \frac{7}{3} + \frac{3}{y} - \frac{1}{y^2}
\]
**Propiedades usadas:** División de polinomios término a término.

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**Ejercicio 53:**  
\[
\frac{p^2 - 2p + 7}{\sqrt{t}}
\]
**Paso 1:** Simplificación directa.  
Este es un cociente que no se puede simplificar más porque el numerador es un polinomio de segundo grado y el denominador es una raíz. La expresión queda tal como está:
\[
\frac{p^2 - 2p + 7}{\sqrt{t}}
\]
**Propiedades usadas:** Ninguna simplificación adicional es posible.

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**Ejercicio 54:**  
\[
\frac{t^3 + 2t^2 - 3t + 1}{\sqrt{t}}
\]
**Paso 1:** División de cada término del numerador entre el denominador.  
\[
\frac{t^3}{\sqrt{t}} + \frac{2t^2}{\sqrt{t}} - \frac{3t}{\sqrt{t}} + \frac{1}{\sqrt{t}}
\]
**Paso 2:** Simplificación de cada término usando propiedades de radicales (la raíz cuadrada de \(t\) es \(t^{1/2}\), así que usamos las propiedades de potencias).
\[
t^{3 - \frac{1}{2}} + 2t^{2 - \frac{1}{2}} - 3t^{1 - \frac{1}{2}} + t^{0 - \frac{1}{2}}
\]
\[
t^{\frac{5}{2}} + 2t^{\frac{3}{2}} - 3t^{\frac{1}{2}} + t^{-\frac{1}{2}}
\]
**Resultado final:**
\[
t^{\frac{5}{2}} + 2t^{\frac{3}{2}} - 3t^{\frac{1}{2}} + t^{-\frac{1}{2}}
\]
**Propiedades usadas:** Propiedades de los exponentes y simplificación de radicales.

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**Ejercicio 55:**  
\[
\frac{6x^3y - 8xy^2 + 2x^2y^3}{2xy}
\]
**Paso 1:** Factorización del numerador.  
Primero factorizamos un término común \(2xy\) del numerador:
\[
2xy(3x^2 - 4y + x^2y^2)
\]
**Paso 2:** Simplificación con el denominador.  
Al dividir por \(2xy\), tenemos:
\[
3x^2 - 4y + x^2y^2
\]
**Resultado final:**
\[
3x^2 - 4y + x^2y^2
\]
**Propiedades usadas:** Factorización por términos comunes y simplificación de fracciones.

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**Ejercicio 56:**  
\[
\frac{3x^4 - 9x^3y^2 - 4x^3 - 8xy^2}{3x^3 - 3x^3y}
\]
**Paso 1:** Factorización del denominador.  
Factorizamos \(3x^3\) del denominador:
\[
3x^3(1 - y)
\]
**Paso 2:** Simplificación del numerador.  
Agrupamos y factorizamos el numerador:
\[
3x^3(x - 3y^2) - 4(x^3 + 2xy^2)
\]
**Paso 3:** Simplificación final.  
\[
\frac{3x^4 - 9x^3y^2 - 4x^3 - 8xy^2}{3x^3(1 - y)}
\]
La fracción no puede simplificarse más. Este es el resultado final.

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¿Te gustaría más detalles sobre alguno de los pasos? Aquí tienes algunas preguntas que podrían expandir la información:

1. ¿Cómo factorizar expresiones con exponentes grandes?
2. ¿Qué propiedades de exponentes se utilizan al simplificar radicales?
3. ¿Cómo identificar el factor común en expresiones polinomiales?
4. ¿Cuáles son los errores comunes al simplificar fracciones algebraicas?
5. ¿Qué métodos pueden aplicarse cuando no es posible simplificar directamente una fracción?

**Tip:** Siempre que simplifiques fracciones algebraicas, revisa si hay factores comunes que puedan dividirse tanto en el numerador como en el denominador para evitar errores en el proceso.

Resuelve los ejercicios de la 49 al 56 explicando paso a paso y explicando qué propiedades usas para cada una.

A detailed step-by-step solution for simplifying algebraic fractions and polynomials for exercises 49 to 56. Learn how to apply factorization, polynomial division, and simplification techniques, covering key algebra concepts suitable for Grades 10-12.

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