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resuelve paso a paso cada uno de los ejercicios explicados de manera sencilla y con resultados

Gracias por las imágenes. Veamos cada uno de los ejercicios y resolvámoslos paso a paso.

### Ejercicio 1:
\[
\left( \frac{1}{2} a - \frac{1}{3} b \right) \times \left( \frac{1}{3} a + \frac{1}{2} b \right)
\]
Distribuimos cada término:
1. Primero multiplicamos \(\frac{1}{2} a\) con \(\frac{1}{3} a\):
\[
\frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6} \quad \text{y} \quad a \times a = a^2 \quad \text{por lo tanto} \quad \frac{1}{6} a^2
\]
2. Ahora multiplicamos \(\frac{1}{2} a\) con \(\frac{1}{2} b\):
\[
\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \quad \text{y} \quad a \times b = ab \quad \text{por lo tanto} \quad \frac{1}{4} ab
\]
3. Multiplicamos \(-\frac{1}{3} b\) con \(\frac{1}{3} a\):
\[
-\frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = -\frac{1}{9} \quad \text{y} \quad b \times a = ab \quad \text{por lo tanto} \quad -\frac{1}{9} ab
\]
4. Finalmente multiplicamos \(-\frac{1}{3} b\) con \(\frac{1}{2} b\):
\[
-\frac{1}{3} \times \frac{1}{2} = -\frac{1}{6} \quad \text{y} \quad b \times b = b^2 \quad \text{por lo tanto} \quad -\frac{1}{6} b^2
\]
Sumamos los términos:
\[
\frac{1}{6} a^2 + \left(\frac{1}{4} ab - \frac{1}{9} ab\right) - \frac{1}{6} b^2
\]
Simplificando el término de \(ab\):
\[
\frac{1}{4} - \frac{1}{9} = \frac{9}{36} - \frac{4}{36} = \frac{5}{36}
\]
Por lo tanto, el resultado es:
\[
\frac{1}{6} a^2 + \frac{5}{36} ab - \frac{1}{6} b^2
\]

---

### Ejercicio 2:
\[
\left( x - \frac{2}{5} y \right) \times \left( \frac{5}{6} y + \frac{1}{3} x \right)
\]
Distribuimos cada término:
1. \(x \times \frac{5}{6} y = \frac{5}{6} xy\)
2. \(x \times \frac{1}{3} x = \frac{1}{3} x^2\)
3. \(-\frac{2}{5} y \times \frac{5}{6} y = -\frac{10}{30} y^2 = -\frac{1}{3} y^2\)
4. \(-\frac{2}{5} y \times \frac{1}{3} x = -\frac{2}{15} xy\)

Sumamos los términos:
\[
\frac{5}{6} xy - \frac{2}{15} xy + \frac{1}{3} x^2 - \frac{1}{3} y^2
\]
Simplificamos los términos de \(xy\):
\[
\frac{5}{6} - \frac{2}{15} = \frac{25}{30} - \frac{4}{30} = \frac{21}{30} = \frac{7}{10}
\]
Por lo tanto, el resultado es:
\[
\frac{7}{10} xy + \frac{1}{3} x^2 - \frac{1}{3} y^2
\]

---

### Ejercicio 3:
\[
\left( \frac{1}{2} x^2 - \frac{1}{3} xy + \frac{1}{4} y^2 \right) \times \left( \frac{2}{3} x - \frac{3}{2} y \right)
\]
Distribuimos cada término:
1. \(\frac{1}{2} x^2 \times \frac{2}{3} x = \frac{1}{3} x^3\)
2. \(\frac{1}{2} x^2 \times -\frac{3}{2} y = -\frac{3}{4} x^2 y\)
3. \(-\frac{1}{3} xy \times \frac{2}{3} x = -\frac{2}{9} x^2 y\)
4. \(-\frac{1}{3} xy \times -\frac{3}{2} y = \frac{1}{2} xy^2\)
5. \(\frac{1}{4} y^2 \times \frac{2}{3} x = \frac{1}{6} xy^2\)
6. \(\frac{1}{4} y^2 \times -\frac{3}{2} y = -\frac{3}{8} y^3\)

Sumamos los términos:
\[
\frac{1}{3} x^3 + \left(-\frac{3}{4} x^2 y - \frac{2}{9} x^2 y\right) + \left(\frac{1}{2} xy^2 + \frac{1}{6} xy^2\right) - \frac{3}{8} y^3
\]
Simplificamos los coeficientes de \(x^2 y\) y \(xy^2\):
\[
-\frac{3}{4} - \frac{2}{9} = \frac{-27}{36} - \frac{8}{36} = \frac{-35}{36}
\]
\[
\frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} + \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}
\]
El resultado final es:
\[
\frac{1}{3} x^3 - \frac{35}{36} x^2 y + \frac{2}{3} xy^2 - \frac{3}{8} y^3
\]

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### Ejercicio 4:
\[
\left( \frac{1}{4} a^2 - ab + \frac{2}{3} b^2 \right) \times \left( \frac{1}{4} a - \frac{3}{2} b \right)
\]
Distribuimos:
1. \(\frac{1}{4} a^2 \times \frac{1}{4} a = \frac{1}{16} a^3\)
2. \(\frac{1}{4} a^2 \times -\frac{3}{2} b = -\frac{3}{8} a^2 b\)
3. \(-ab \times \frac{1}{4} a = -\frac{1}{4} a^2 b\)
4. \(-ab \times -\frac{3}{2} b = \frac{3}{2} ab^2\)
5. \(\frac{2}{3} b^2 \times \frac{1}{4} a = \frac{1}{6} ab^2\)
6. \(\frac{2}{3} b^2 \times -\frac{3}{2} b = -1 b^3\)

Sumamos los términos:
\[
\frac{1}{16} a^3 + \left(-\frac{3}{8} a^2 b - \frac{1}{4} a^2 b\right) + \left(\frac{3}{2} ab^2 + \frac{1}{6} ab^2\right) - b^3
\]
Simplificamos los coeficientes de \(a^2 b\) y \(ab^2\):
\[
-\frac{3}{8} - \frac{1}{4} = \frac{-3}{8} - \frac{2}{8} = \frac{-5}{8}
\]
\[
\frac{3}{2} + \frac{1}{6} = \frac{9}{6} + \frac{1}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}
\]
El resultado final es:
\[
\frac{1}{16} a^3 - \frac{5}{8} a^2 b + \frac{5}{3} ab^2 - b^3
\]

---

Voy a proceder ahora con la segunda imagen y te explico los siguientes ejercicios.



Get detailed step-by-step solutions to problems involving polynomial multiplication, rational expressions, and algebraic simplifications. The exercises cover essential algebraic concepts and are explained clearly for Grades 10-12 students.

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