halle C₁ y C₂ de modo tal que y(x)=C₁senx+C₂cosx satisfaga la condicion y(0)=2 ; y′(0)=1

Dada la ecuación \( y(x) = C_1 \sin(x) + C_2 \cos(x) \), y las condiciones \( y(0) = 2 \) y \( y'(0) = 1 \), procederemos a encontrar \( C_1 \) y \( C_2 \).

### Paso 1: Aplicar la condición \( y(0) = 2 \)
Sabemos que:
\[
y(0) = C_1 \sin(0) + C_2 \cos(0)
\]
Dado que \( \sin(0) = 0 \) y \( \cos(0) = 1 \), esto se simplifica a:
\[
y(0) = C_2 = 2
\]
Por lo tanto, \( C_2 = 2 \).

### Paso 2: Derivar \( y(x) \) y aplicar la condición \( y'(0) = 1 \)
Primero, derivamos la función:
\[
y'(x) = C_1 \cos(x) - C_2 \sin(x)
\]
Luego aplicamos la condición \( y'(0) = 1 \):
\[
y'(0) = C_1 \cos(0) - C_2 \sin(0)
\]
Dado que \( \cos(0) = 1 \) y \( \sin(0) = 0 \), esto se simplifica a:
\[
y'(0) = C_1 = 1
\]
Por lo tanto, \( C_1 = 1 \).

### Solución final:
Los valores de \( C_1 \) y \( C_2 \) son:
\[
C_1 = 1, \quad C_2 = 2
\]
Por lo tanto, la solución general es:
\[
y(x) = \sin(x) + 2 \cos(x)
\]

¿Te gustaría más detalles o alguna explicación adicional sobre el proceso? Aquí tienes algunas preguntas relacionadas para profundizar más:

1. ¿Qué otros métodos hay para resolver ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden?
2. ¿Cómo afecta el cambio de condiciones iniciales al valor de \( C_1 \) y \( C_2 \)?
3. ¿Qué ocurriría si las condiciones fueran en un punto distinto de \( x = 0 \)?
4. ¿Cómo se comporta la solución para valores grandes de \( x \)?
5. ¿Qué representa físicamente la función obtenida en un contexto de oscilaciones?

**Tip:** Cuando resuelvas ecuaciones diferenciales, verifica siempre si las funciones trigonométricas en las condiciones iniciales se anulan o no para simplificar los cálculos.

Learn how to solve the differential equation y(x) = C₁sin(x) + C₂cos(x) given the initial conditions y(0) = 2 and y'(0) = 1. This step-by-step guide covers key concepts in differential equations, including solving for constants and applying initial conditions. Suitable for students in Grades 11-12.

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