 Dados los conjuntos M = {x ∣ x ∈ N, 2<x<14} y O = {x ∣ x=2n+1, n ∈ N, 
0<n<6}, N conjunto de los números naturales
a. Determine por extensión cada conjunto
b. Encuentre la relación R = {(x, y) ∈ M x O | x = 2y+1}
c. Muestre el dominio, codominio y rango de la relación.

Dado que se proporcionan los conjuntos \( M \) y \( O \), abordemos cada parte del problema de manera estructurada:

### Parte a. Determinar por extensión cada conjunto

#### Conjunto \( M \):
- La definición del conjunto \( M \) es \( M = \{x \mid x \in \mathbb{N}, 2 < x < 14\} \).
- Los números naturales \( \mathbb{N} \) son \( \{1, 2, 3, \dots \} \), por lo que \( M \) incluye todos los números naturales mayores que 2 y menores que 14.

Por extensión:
\[
M = \{3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13\}
\]

#### Conjunto \( O \):
- La definición del conjunto \( O \) es \( O = \{x \mid x = 2n + 1, n \in \mathbb{N}, 0 < n < 6\} \).
- Esto significa que \( x \) es un número impar que se obtiene sustituyendo \( n \) por valores naturales entre 1 y 5 (ya que \( 0 < n < 6 \)).

Por extensión:
\[
O = \{2(1) + 1, 2(2) + 1, 2(3) + 1, 2(4) + 1, 2(5) + 1\} = \{3, 5, 7, 9, 11\}
\]

### Parte b. Encontrar la relación \( R \)
La relación \( R \) está definida como \( R = \{(x, y) \in M \times O \mid x = 2y + 1\} \).

Para determinar los pares \( (x, y) \) que satisfacen esta condición, evaluemos para cada \( y \in O \):

- Para \( y = 3 \), \( x = 2(3) + 1 = 7 \). Entonces, \( (7, 3) \) pertenece a \( R \).
- Para \( y = 5 \), \( x = 2(5) + 1 = 11 \). Entonces, \( (11, 5) \) pertenece a \( R \).
- Para \( y = 7 \), \( x = 2(7) + 1 = 15 \), pero \( 15 \notin M \), por lo que no hay un par para este caso.
- Para \( y = 9 \), \( x = 2(9) + 1 = 19 \), pero \( 19 \notin M \), por lo que no hay un par para este caso.
- Para \( y = 11 \), \( x = 2(11) + 1 = 23 \), pero \( 23 \notin M \), por lo que no hay un par para este caso.

Por lo tanto, la relación \( R \) es:
\[
R = \{(7, 3), (11, 5)\}
\]

### Parte c. Dominio, codominio y rango de la relación

- **Dominio** de la relación \( R \) (valores de \( x \) en los pares \( (x, y) \)): 
\[
\text{Dominio}(R) = \{7, 11\}
\]

- **Codominio** de la relación \( R \) (el conjunto \( O \)): 
\[
\text{Codominio}(R) = O = \{3, 5, 7, 9, 11\}
\]

- **Rango** de la relación \( R \) (valores de \( y \) asociados a los \( x \) en la relación): 
\[
\text{Rango}(R) = \{3, 5\}
\]

---

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**Tip**: Para verificar si un par pertenece a una relación, basta con comprobar que la condición de la relación se cumple para ese par de elementos.

Dados los conjuntos M = {x ∣ x ∈ N, 2<x<14} y O = {x ∣ x=2n+1, n ∈ N, 0<n<6}, N conjunto de los números naturales
a. Determine por extensión cada conjunto
b. Encuentre la relación R = {(x, y) ∈ M x O | x = 2y+1}
c. Muestre el dominio, codominio y rango de la relación.

Explore the relations between sets M = {x ∣ x ∈ N, 2<x<14} and O = {x ∣ x=2n+1, n ∈ N, 0<n<6}. This problem demonstrates set theory concepts, including set extension, relations, domain, codomain, and range. Suitable for students in Grades 10-12.

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