Ejercicio 2. Encontrar los siguientes límites, aplicando reglas o técnica algebraica, 
sino argumentar que no existe.
a) lim𝑥→3
3𝑥
2 − 2𝑥
2 + 2 b) lim𝑥→2
√𝑥
3 + 1 c) lim𝑥→−3
(𝑥 − 4)
3
 d) lim𝑥→0
√7+3𝑥−√7
𝑥
 e) lim𝑥→3
𝑥
2−9
𝑥
2−𝑥−6

Vamos a resolver cada uno de los límites solicitados usando técnicas algebraicas y propiedades de límites. Si un límite no existe, se argumentará por qué.

### a) \(\lim_{x \to 3} \frac{3x^2 - 2x^2 + 2}{1}\)

Primero, simplificamos la expresión en el numerador:

\[
\lim_{x \to 3} \frac{3x^2 - 2x^2 + 2}{1} = \lim_{x \to 3} \frac{x^2 + 2}{1} = \lim_{x \to 3} (x^2 + 2)
\]

Evaluamos el límite sustituyendo \( x = 3 \):

\[
\lim_{x \to 3} (x^2 + 2) = 3^2 + 2 = 9 + 2 = 11
\]

**Respuesta:** \(\lim_{x \to 3} \frac{3x^2 - 2x^2 + 2}{1} = 11\).

### b) \(\lim_{x \to 2} \sqrt{x^3 + 1}\)

Sustituyendo directamente \( x = 2 \) en la función:

\[
\lim_{x \to 2} \sqrt{x^3 + 1} = \sqrt{2^3 + 1} = \sqrt{8 + 1} = \sqrt{9} = 3
\]

**Respuesta:** \(\lim_{x \to 2} \sqrt{x^3 + 1} = 3\).

### c) \(\lim_{x \to -3} (x - 4)^3\)

Evaluamos el límite sustituyendo \( x = -3 \):

\[
\lim_{x \to -3} (x - 4)^3 = (-3 - 4)^3 = (-7)^3 = -343
\]

**Respuesta:** \(\lim_{x \to -3} (x - 4)^3 = -343\).

### d) \(\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{7+3x} - \sqrt{7}}{x}\)

Este es un límite que tiene una indeterminación de la forma \(\frac{0}{0}\), por lo que podemos aplicar la técnica de multiplicar por el conjugado:

\[
\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{7+3x} - \sqrt{7}}{x} \times \frac{\sqrt{7+3x} + \sqrt{7}}{\sqrt{7+3x} + \sqrt{7}} = \lim_{x \to 0} \frac{(7+3x) - 7}{x(\sqrt{7+3x} + \sqrt{7})}
\]

Simplificamos el numerador:

\[
\lim_{x \to 0} \frac{3x}{x(\sqrt{7+3x} + \sqrt{7})} = \lim_{x \to 0} \frac{3}{\sqrt{7+3x} + \sqrt{7}}
\]

Ahora, al sustituir \( x = 0 \):

\[
\lim_{x \to 0} \frac{3}{\sqrt{7+0} + \sqrt{7}} = \frac{3}{\sqrt{7} + \sqrt{7}} = \frac{3}{2\sqrt{7}}
\]

Simplificando:

\[
\frac{3}{2\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}} = \frac{3\sqrt{7}}{14}
\]

**Respuesta:** \(\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{7+3x} - \sqrt{7}}{x} = \frac{3\sqrt{7}}{14}\).

### e) \(\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x^2 - x - 6}\)

Primero, factorizamos tanto el numerador como el denominador:

\[
\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x^2 - x - 6} = \lim_{x \to 3} \frac{(x-3)(x+3)}{(x-3)(x+2)}
\]

Podemos cancelar el factor común \( (x-3) \) (con la condición de que \( x \neq 3 \)):

\[
\lim_{x \to 3} \frac{x+3}{x+2}
\]

Ahora, evaluamos el límite sustituyendo \( x = 3 \):

\[
\frac{3+3}{3+2} = \frac{6}{5}
\]

**Respuesta:** \(\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x^2 - x - 6} = \frac{6}{5}\).

---

¿Tienes alguna pregunta adicional o quieres más detalles sobre alguno de estos límites?

Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Qué significa un límite indeterminado y cómo se resuelve?
2. ¿Cuándo es conveniente aplicar el conjugado para resolver un límite?
3. ¿Qué ocurre si un límite lleva a una forma \( \frac{0}{0} \) sin una forma clara de resolverlo?
4. ¿Por qué es importante verificar las

Learn how to solve limits using algebraic techniques and evaluating indeterminate forms such as 0/0. This page covers detailed solutions to limit problems involving polynomial simplification, conjugate multiplication, and direct substitution. Suitable for high school students.

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