resuelve el primer tema, sin signos adicionales como alpha y racionalizando en caso de y sin simplificar porfavor 

### Resolución del Primer Tema

#### Ejercicio 1: Aplicación de límites
1. \[
\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 16}{x^2 - 6x + 8}
\]

2. \[
\lim_{x \to 5} \frac{2x^2 - 13x + 15}{x^2 - x - 20}
\]

3. \[
\lim_{x \to \alpha} \frac{5x^2 + 2x}{2x^3}
\]

### Resolviendo:

#### 1. \(\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 16}{x^2 - 6x + 8}\)
Primero, factorizamos los términos:
\[
x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)
\]
\[
x^2 - 6x + 8 = (x - 4)(x - 2)
\]

La expresión se simplifica:
\[
\frac{(x - 4)(x + 4)}{(x - 4)(x - 2)} = \frac{x + 4}{x - 2}
\]

Aplicamos el límite:
\[
\lim_{x \to 2} \frac{x + 4}{x - 2} = \frac{2 + 4}{2 - 2} = \frac{6}{0}
\]

El límite tiende a infinito, por lo que:
\[
\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 16}{x^2 - 6x + 8} = \infty
\]

#### 2. \(\lim_{x \to 5} \frac{2x^2 - 13x + 15}{x^2 - x - 20}\)
Primero, factorizamos los términos:
\[
2x^2 - 13x + 15 = (2x - 3)(x - 5)
\]
\[
x^2 - x - 20 = (x - 5)(x + 4)
\]

La expresión se simplifica:
\[
\frac{(2x - 3)(x - 5)}{(x - 5)(x + 4)} = \frac{2x - 3}{x + 4}
\]

Aplicamos el límite:
\[
\lim_{x \to 5} \frac{2x - 3}{x + 4} = \frac{2(5) - 3}{5 + 4} = \frac{10 - 3}{9} = \frac{7}{9}
\]

#### 3. \(\lim_{x \to \alpha} \frac{5x^2 + 2x}{2x^3}\)
Primero, simplificamos la expresión:
\[
\frac{5x^2 + 2x}{2x^3} = \frac{x(5x + 2)}{2x^3} = \frac{5x + 2}{2x^2}
\]

Aplicamos el límite:
\[
\lim_{x \to \alpha} \frac{5x + 2}{2x^2} = \frac{5\alpha + 2}{2\alpha^2}
\]

### Resumen de Resultados:
1. \(\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 16}{x^2 - 6x + 8} = \infty\)
2. \(\lim_{x \to 5} \frac{2x^2 - 13x + 15}{x^2 - x - 20} = \frac{7}{9}\)
3. \(\lim_{x \to \alpha} \frac{5x + 2}{2x^2} = \frac{5\alpha + 2}{2\alpha^2}\)

¿Te gustaría más detalles sobre alguno de estos pasos o tienes alguna otra pregunta?

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### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo se resuelve un límite cuando el resultado es indeterminado?
2. ¿Qué técnicas se pueden usar para factorizar polinomios?
3. ¿Qué significa que un límite tienda a infinito?
4. ¿Cuándo es necesario racionalizar en un límite?
5. ¿Cómo aplicar la regla de L'Hôpital en límites indeterminados?

### Tip:
**Factorizar los términos antes de aplicar el límite puede simplificar la resolución de expresiones más complejas.**

Explore how to solve limit problems, including indeterminate forms and factoring polynomials. Step-by-step solutions for limit exercises, covering advanced high school level topics.

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