evalúa los siguientes límites. Detalla el procedimiento de cada uno para llegar al resultado.

(lim)┬(x→3)  ((x^2+4x-21))/((x^2-18x+45) )

(lim)┬(x→2)  ((〖2x〗^2+1))/((x^2+6x-4) )


Vamos a evaluar ambos límites detalladamente paso a paso.

### 1. Límite \(\lim_{x \to 3} \frac{x^2 + 4x - 21}{x^2 - 18x + 45}\)

#### Paso 1: Evaluación directa
Primero, intentemos evaluar el límite sustituyendo \(x = 3\):

\[
\text{Numerador: } x^2 + 4x - 21 = 3^2 + 4 \cdot 3 - 21 = 9 + 12 - 21 = 0
\]

\[
\text{Denominador: } x^2 - 18x + 45 = 3^2 - 18 \cdot 3 + 45 = 9 - 54 + 45 = 0
\]

Obtenemos una forma indeterminada \(\frac{0}{0}\), por lo que necesitamos simplificar la expresión factorizando.

#### Paso 2: Factorización de numerador y denominador

- **Numerador:** \(x^2 + 4x - 21\)

Buscamos dos números que multiplicados den \(-21\) y sumados den \(4\). Estos números son \(7\) y \(-3\).

\[
x^2 + 4x - 21 = (x + 7)(x - 3)
\]

- **Denominador:** \(x^2 - 18x + 45\)

Buscamos dos números que multiplicados den \(45\) y sumados den \(-18\). Estos números son \(-15\) y \(-3\).

\[
x^2 - 18x + 45 = (x - 15)(x - 3)
\]

#### Paso 3: Simplificación del límite

Reemplazamos las factorizaciones en el límite:

\[
\lim_{x \to 3} \frac{(x + 7)(x - 3)}{(x - 15)(x - 3)}
\]

Cancelamos el factor común \((x - 3)\), asumiendo que \(x \neq 3\):

\[
\lim_{x \to 3} \frac{x + 7}{x - 15}
\]

#### Paso 4: Evaluación del límite

Ahora evaluamos directamente sustituyendo \(x = 3\):

\[
\frac{3 + 7}{3 - 15} = \frac{10}{-12} = -\frac{5}{6}
\]

#### Resultado del primer límite

\[
\lim_{x \to 3} \frac{x^2 + 4x - 21}{x^2 - 18x + 45} = -\frac{5}{6}
\]

---

### 2. Límite \(\lim_{x \to 2} \frac{2x^2 + 1}{x^2 + 6x - 4}\)

#### Paso 1: Evaluación directa

Sustituyamos \(x = 2\):

\[
\text{Numerador: } 2x^2 + 1 = 2(2^2) + 1 = 2 \cdot 4 + 1 = 8 + 1 = 9
\]

\[
\text{Denominador: } x^2 + 6x - 4 = 2^2 + 6 \cdot 2 - 4 = 4 + 12 - 4 = 12
\]

No tenemos una forma indeterminada. Evaluamos directamente:

\[
\lim_{x \to 2} \frac{2x^2 + 1}{x^2 + 6x - 4} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}
\]

#### Resultado del segundo límite

\[
\lim_{x \to 2} \frac{2x^2 + 1}{x^2 + 6x - 4} = \frac{3}{4}
\]

---

### Conclusiones

1. \(\lim_{x \to 3} \frac{x^2 + 4x - 21}{x^2 - 18x + 45} = -\frac{5}{6}\)
2. \(\lim_{x \to 2} \frac{2x^2 + 1}{x^2 + 6x - 4} = \frac{3}{4}\)

¿Te gustaría que profundice en algún paso o tienes alguna pregunta?

#### Preguntas Relacionadas:

1. ¿Cómo se realiza la factorización de un trinomio cuadrático?
2. ¿Qué es una forma indeterminada y cómo se resuelve?
3. ¿Por qué es importante simplificar antes de evaluar un límite?
4. ¿Cuáles son otros métodos para evaluar límites que presentan una forma indeterminada?
5. ¿Cómo se utiliza la regla de L'Hôpital para resolver límites indeterminados?

**Tip:** Siempre intenta factorizar expresiones cuadráticas para simplificar y encontrar posibles cancelaciones antes de aplicar métodos avanzados como la regla de L'Hôpital.

evalúa los siguientes límites. Detalla el procedimiento de cada uno para llegar al resultado.

(lim)┬(x→3)  ((x^2+4x-21))/((x^2-18x+45) )

(lim)┬(x→2)  ((〖2x〗^2+1))/((x^2+6x-4) )

Learn how to evaluate limits by factoring quadratic expressions and resolving indeterminate forms like 0/0. This problem includes step-by-step solutions for two limits, focusing on factorization and direct substitution. Suitable for students in Grades 10-12.

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