https://r2.erweima.ai/mathbot/image/17260257831676shq0nq5.jpg

Resuelve todas las composiciones y dime que inciso es el dominio de cada una

Vamos a resolver las composiciones de funciones y verificar el dominio para cada una de ellas.

### Funciones dadas:
- \( f(x) = \sqrt{x - 1} \)
- \( g(x) = \sqrt{x^2 - 1} \)
- \( h(x) = x + 5 \)

### I. \( (f \circ g)(x) = f(g(x)) \)

\( f(g(x)) = f(\sqrt{x^2 - 1}) = \sqrt{\sqrt{x^2 - 1} - 1} \)

Para que esta expresión tenga sentido, necesitamos que:
- \( \sqrt{x^2 - 1} - 1 \geq 0 \)
- \( \sqrt{x^2 - 1} \geq 1 \)
- \( x^2 - 1 \geq 1 \)
- \( x^2 \geq 2 \)

Por lo tanto, \( x \leq -\sqrt{2} \) o \( x \geq \sqrt{2} \). Es decir, el dominio es:

\[
(-\infty, -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}, \infty)
\]

Esto corresponde al inciso **b)**.

---

### II. \( (g \circ f)(x) = g(f(x)) \)

\( g(f(x)) = g(\sqrt{x - 1}) = \sqrt{(\sqrt{x - 1})^2 - 1} = \sqrt{x - 1 - 1} = \sqrt{x - 2} \)

Para que esta expresión tenga sentido, necesitamos que \( x - 2 \geq 0 \), lo cual implica \( x \geq 2 \).

Por lo tanto, el dominio es \( [2, \infty) \), que corresponde al inciso **c)**.

---

### III. \( (h \circ f)(x) = h(f(x)) \)

\( h(f(x)) = h(\sqrt{x - 1}) = \sqrt{x - 1} + 5 \)

El dominio de esta función es el mismo que el dominio de \( f(x) \), es decir, \( x \geq 1 \).

Esto corresponde al inciso **a)**.

---

### Ahora pasemos a las funciones inversas:

#### IV. \( f(x) = x^4 - 1 \)

Queremos encontrar la inversa de \( f(x) \). Para ello, resolvemos \( y = x^4 - 1 \):

\[
y + 1 = x^4 \quad \Rightarrow \quad x = \pm \sqrt[4]{y + 1}
\]

Por lo tanto, la inversa es:

\[
f^{-1}(x) = \pm \sqrt[4]{x + 1}
\]

Dependiendo del rango de \( f(x) \), seleccionamos la opción positiva o negativa. En este caso, el inciso **b)** es correcto: \( f^{-1}(x) = -\sqrt[4]{x + 1} \).

---

#### V. \( g(x) = \sqrt{x - 1} \)

Queremos encontrar la inversa de \( g(x) \). Para ello, resolvemos \( y = \sqrt{x^2 - 1} \):

\[
y^2 = x^2 - 1 \quad \Rightarrow \quad x^2 = y^2 + 1 \quad \Rightarrow \quad x = \pm \sqrt{y^2 + 1}
\]

Por lo tanto, la inversa es:

\[
g^{-1}(x) = \pm \sqrt{x^2 + 1}
\]

Dependiendo del rango de \( g(x) \), el inciso correcto es **b)**: \( g^{-1}(x) = \sqrt{x^2 + 1} \).

---

### Resumen de los incisos correctos:
1. **I.** \( (f \circ g)(x) \) → Dominio: b)
2. **II.** \( (g \circ f)(x) \) → Dominio: c)
3. **III.** \( (h \circ f)(x) \) → Dominio: a)
4. **IV.** Inversa de \( f(x) \): b)
5. **V.** Inversa de \( g(x) \): b)

---

¿Te gustaría que detallemos más alguno de los pasos? Aquí tienes 5 preguntas adicionales relacionadas con esta información:

1. ¿Cómo se define formalmente la composición de funciones?
2. ¿Cómo se determina el dominio de una función compuesta?
3. ¿Cómo se calcula la inversa de una función en términos de álgebra básica?
4. ¿Cuál es la diferencia entre el dominio y el rango de una función?
5. ¿Qué sucede con el dominio al calcular una inversa de una función?

**Tip:** Para calcular una función inversa, es importante despejar la variable original en función de la variable dependiente.

Resuelve todas las composiciones y dime que inciso es el dominio de cada una.

Learn how to solve function compositions, find inverse functions, and determine domains. This detailed solution covers key algebraic concepts such as square roots, composition of functions, and inverse calculations. Suitable for high school students (Grades 10-12).

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation