g : R → R; g(x) = 2x
2 − 5x − 12
h : R → R; h(x) = x + 1
(a) ¿Cu´al es el ´ambito y el dominio de f? (2 puntos)
(b) Determine (f ◦ g)(4). (1 punto)
(c) Determine (h ◦ f)(−3). (1 punto)
(d) Determine el criterio de (g ◦ h)(x) 

Dado el problema, vamos a resolverlo paso a paso.

### Definiciones:
- \( g : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) con \( g(x) = 2x^2 - 5x - 12 \)
- \( h : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) con \( h(x) = x + 1 \)

### (a) Ámbito y dominio de \( f \) (2 puntos)

Primero, notamos que no se ha dado explícitamente una función \( f \), pero dado el contexto, parece que se refiere a \( g(x) \).

- **Dominio de \( g(x) \)**: Como \( g(x) \) es un polinomio cuadrático, está definido para todos los números reales \( x \). Así que el dominio de \( g(x) \) es \( \mathbb{R} \).

- **Ámbito de \( g(x) \)**: Dado que es un polinomio cuadrático con coeficiente principal positivo (\(2\)), el ámbito es \( \mathbb{R} \) porque la función puede tomar cualquier valor real dependiendo de \( x \).

Entonces:
- **Dominio**: \( \mathbb{R} \)
- **Ámbito**: \( \mathbb{R} \)

### (b) Determinar \( (f \circ g)(4) \) (1 punto)

Suponiendo que la función \( f \) a la que se refiere es \( g(x) \), lo que se busca es:

\[ (f \circ g)(4) = f(g(4)) \]

Primero calculamos \( g(4) \):

\[ g(4) = 2(4)^2 - 5(4) - 12 \]
\[ g(4) = 2(16) - 20 - 12 \]
\[ g(4) = 32 - 20 - 12 = 0 \]

Luego, evaluamos \( f(0) \):

\[ (f \circ g)(4) = f(0) = g(0) \]

Calculamos \( g(0) \):

\[ g(0) = 2(0)^2 - 5(0) - 12 = -12 \]

Entonces:

\[ (f \circ g)(4) = -12 \]

### (c) Determinar \( (h \circ f)(-3) \) (1 punto)

Suponiendo nuevamente que \( f(x) = g(x) \), buscamos:

\[ (h \circ f)(-3) = h(f(-3)) = h(g(-3)) \]

Primero calculamos \( g(-3) \):

\[ g(-3) = 2(-3)^2 - 5(-3) - 12 \]
\[ g(-3) = 2(9) + 15 - 12 \]
\[ g(-3) = 18 + 15 - 12 = 21 \]

Luego, evaluamos \( h(21) \):

\[ h(21) = 21 + 1 = 22 \]

Por lo tanto:

\[ (h \circ f)(-3) = 22 \]

### (d) Determinar el criterio de \( (g \circ h)(x) \) (1 punto)

Aquí se busca la composición \( (g \circ h)(x) = g(h(x)) \).

Sabemos que:

\[ h(x) = x + 1 \]

Entonces:

\[ g(h(x)) = g(x + 1) \]

Sustituimos \( x + 1 \) en la función \( g(x) \):

\[ g(x + 1) = 2(x + 1)^2 - 5(x + 1) - 12 \]

Expandiendo:

\[ g(x + 1) = 2(x^2 + 2x + 1) - 5(x + 1) - 12 \]
\[ g(x + 1) = 2x^2 + 4x + 2 - 5x - 5 - 12 \]
\[ g(x + 1) = 2x^2 - x - 15 \]

Por lo tanto, el criterio de \( (g \circ h)(x) \) es:

\[ (g \circ h)(x) = 2x^2 - x - 15 \]

---

¿Te gustaría más detalles sobre algún paso o tienes alguna otra pregunta?

### Preguntas Relacionadas:

1. ¿Cómo se puede determinar el vértice de la parábola dada por \( g(x) \)?
2. ¿Cuál es la forma canónica de la función \( g(x) = 2x^2 - 5x - 12 \)?
3. ¿Cómo se pueden encontrar las raíces de la función cuadrática \( g(x) \)?
4. ¿Cuál es el discriminante de \( g(x) \) y qué nos dice sobre las raíces de la función?
5. ¿Qué representa la composición de funciones en términos de transformación de gráficas?
6. ¿Cómo se puede visualizar la composición de funciones \( (f \circ g)(x) \) en un gráfico?
7. ¿Cuál sería el resultado de la composición \( (h \circ g)(x) \) en este caso?
8. ¿Cómo se podría generalizar el criterio para cualquier función polinómica compuesta?

### Tip:

Recuerda que al componer funciones, primero debes evaluar la función interna y luego aplicar la externa.

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