O estudo das equações diferenciais ordinárias desempenha um papel crucial na análise de sistemas dinâmicos, ou seja, sistemas que variam com o passar do tempo.

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Qual é o resultado da equação diferencial ordinária a seguir, no domínio do tempo para condição inicial Y (0) = 9?



y´(t) + y (t) = 2

Selecione a resposta:
a
2 – 7 ∙ e‒t.

b
–2 – 7 ∙ e‒t.

c
2 + 7 ∙ e‒t.

d
7 – 2 ∙ e‒t.

e
2 – 7 ∙ e‒2∙t.

A equação diferencial dada é:

\[
y'(t) + y(t) = 2
\]

E a condição inicial é \( y(0) = 9 \).

### Passo 1: Resolver a equação homogênea associada

A equação homogênea associada é:

\[
y'(t) + y(t) = 0
\]

Resolvendo essa equação, temos:

\[
y_h(t) = C \cdot e^{-t}
\]

onde \( C \) é uma constante a ser determinada.

### Passo 2: Encontrar a solução particular

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação \( y'(t) + y(t) = 2 \). Como o termo no lado direito é uma constante, tentamos uma solução particular constante, ou seja, \( y_p(t) = A \), onde \( A \) é uma constante.

Substituindo na equação original:

\[
0 + A = 2 \implies A = 2
\]

Portanto, a solução particular é \( y_p(t) = 2 \).

### Passo 3: Solução geral

A solução geral é a soma da solução homogênea e da solução particular:

\[
y(t) = C \cdot e^{-t} + 2
\]

### Passo 4: Determinar a constante usando a condição inicial

Utilizamos a condição inicial \( y(0) = 9 \):

\[
9 = C \cdot e^{0} + 2 \implies 9 = C + 2 \implies C = 7
\]

### Passo 5: Solução final

Portanto, a solução final é:

\[
y(t) = 7 \cdot e^{-t} + 2
\]

Ou seja, a resposta correta é:

\[
\boxed{\text{c) } 2 + 7 \cdot e^{-t}}
\]

Se precisar de mais detalhes ou tiver alguma dúvida, estou à disposição!  
Aqui estão 5 questões relacionadas para expandir o conteúdo:

1. Como resolver equações diferenciais com coeficientes variáveis?
2. O que são condições de contorno em equações diferenciais?
3. Quais são as aplicações práticas de equações diferenciais ordinárias?
4. Qual a diferença entre equações diferenciais ordinárias e parciais?
5. Como determinar soluções numéricas para equações diferenciais?

**Dica**: Muitas equações diferenciais podem ser resolvidas por métodos numéricos quando não há solução analítica disponível.

O estudo das equações diferenciais ordinárias desempenha um papel crucial na análise de sistemas dinâmicos, ou seja, sistemas que variam com o passar do tempo.

Qual é o resultado da equação diferencial ordinária a seguir, no domínio do tempo para condição inicial Y (0) = 9?

y´(t) + y (t) = 2
Selecione a resposta:
a) 2 – 7 ∙ e‒t.
b) –2 – 7 ∙ e‒t.
c) 2 + 7 ∙ e‒t.
d) 7 – 2 ∙ e‒t.
e) 2 – 7 ∙ e‒2∙t.

Explore the step-by-step solution to the differential equation y'(t) + y(t) = 2 with the initial condition Y(0) = 9. This problem demonstrates key concepts in differential equations, including the use of homogeneous and particular solutions. Suitable for undergraduate students.

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