A solução geral de equação diferencial ordinária, muitas vezes, é constituída por dois argumentos: o primeiro argumento é a solução particular da equação e o segundo, a solução geral da equação.

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Encontre a solução geral para a equação y´´ – 3y´ + 2y = x e aponte a alternativa correta:

Selecione a resposta:
a
y (x) = A ∙ ex + B ∙ e2x + (1/2) ∙ x + 1/2.

b
y (x) = A ∙ e2x + B ∙ e2x + (1/2)x + 1/2.

c
y (x) = A ∙ ex + B ∙ e2x + ((1/2)x) + 3/4.

d
y (x) = A ∙ e‒x + B ∙ e2x + (1/2)x + 3/2.

e
y (x) = A ∙ ex + B ∙ e‒2x + 1/2 ∙ x + 3/4.

A equação diferencial dada é:

\[
y'' - 3y' + 2y = x
\]

Para encontrar a **solução geral**, primeiro resolvemos a parte homogênea e depois encontramos a solução particular.

### 1. Parte Homogênea
A equação homogênea correspondente é:

\[
y'' - 3y' + 2y = 0
\]

A equação característica associada a esta equação diferencial é:

\[
r^2 - 3r + 2 = 0
\]

Resolvendo essa equação quadrática:

\[
r = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(2)}}{2(1)}
\]

\[
r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}
\]

\[
r = \frac{3 \pm 1}{2}
\]

Assim, temos duas raízes reais e distintas:

\[
r_1 = 2, \quad r_2 = 1
\]

Portanto, a solução geral da parte homogênea é:

\[
y_h(x) = A e^{2x} + B e^{x}
\]

### 2. Solução Particular
Para a solução particular, usaremos o **método dos coeficientes a determinar**, uma vez que o lado direito da equação diferencial é um polinômio do primeiro grau, \(x\).

Vamos assumir uma solução particular da forma:

\[
y_p(x) = Cx + D
\]

Calculamos as derivadas necessárias:

\[
y_p'(x) = C
\]
\[
y_p''(x) = 0
\]

Substituímos essas expressões na equação original \(y'' - 3y' + 2y = x\):

\[
0 - 3C + 2(Cx + D) = x
\]

Distribuindo:

\[
-3C + 2Cx + 2D = x
\]

Agora, comparamos os coeficientes de \(x\) e os termos constantes:

\[
2C = 1 \quad \Rightarrow \quad C = \frac{1}{2}
\]
\[
-3C + 2D = 0 \quad \Rightarrow \quad -\frac{3}{2} + 2D = 0 \quad \Rightarrow \quad D = \frac{3}{4}
\]

Portanto, a solução particular é:

\[
y_p(x) = \frac{1}{2}x + \frac{3}{4}
\]

### 3. Solução Geral
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:

\[
y(x) = y_h(x) + y_p(x)
\]
\[
y(x) = A e^{2x} + B e^{x} + \frac{1}{2}x + \frac{3}{4}
\]

### 4. Alternativa Correta

A alternativa correta é:

**c) \( y(x) = A e^{x} + B e^{2x} + \frac{1}{2}x + \frac{3}{4} \).**

---

Quer mais detalhes sobre algum dos passos?  

Aqui estão 5 perguntas para expandir o tópico:
1. Como se resolve uma equação diferencial homogênea?
2. O que é uma equação característica e como ela é usada?
3. O que são coeficientes a determinar em soluções particulares?
4. Quando usamos a solução particular e como ela é combinada com a homogênea?
5. Qual a diferença entre as soluções homogêneas e não homogêneas?

**Dica:** Em equações diferenciais lineares, o método de coeficientes a determinar é muito eficiente para termos polinomiais e funções exponenciais!

Encontre a solução geral para a equação y´´ – 3y´ + 2y = x e aponte a alternativa correta: a) y(x) = A ∙ ex + B ∙ e2x + (1/2) ∙ x + 1/2. b) y(x) = A ∙ e2x + B ∙ e2x + (1/2)x + 1/2. c) y(x) = A ∙ ex + B ∙ e2x + ((1/2)x) + 3/4. d) y(x) = A ∙ e‒x + B ∙ e2x + (1/2)x + 3/2. e) y(x) = A ∙ ex + B ∙ e‒2x + 1/2 ∙ x + 3/4.

Discover the step-by-step solution to the differential equation y'' - 3y' + 2y = x. This guide explores key concepts like homogeneous equations, characteristic equations, and particular solutions. Learn how to solve linear second-order differential equations using the method of undetermined coefficients.

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