Marleni es una profesora de educación primaria de la I.E. “Santa Teresita” y con motivo del concurso de Ciencia y Tecnología, necesita disponer de un área rectangular para exhibiciones. Ella tiene 40 metros de cuerda para delimitar el perímetro del área. La profesora quiere que el área de exhibición sea al menos 75 metros cuadrados para que haya suficiente espacio para todas las actividades. ¿Cuáles son las posibles dimensiones del área rectangular de la que debe disponer la profesora Marleni para su exhibición?

Para resolver este problema, consideremos las restricciones dadas:

1. **Perímetro de la exhibición**: Marleni tiene 40 metros de cuerda, lo que implica que el perímetro del área rectangular es de 40 metros.
2. **Área mínima requerida**: El área debe ser al menos 75 metros cuadrados.

### Paso 1: Expresar el perímetro en términos de las dimensiones
Si \(x\) es el largo y \(y\) el ancho del área rectangular, el perímetro \(P\) se puede expresar como:
\[
P = 2x + 2y
\]
Dado que el perímetro es 40 metros:
\[
2x + 2y = 40
\]
Dividimos por 2:
\[
x + y = 20
\]
De aquí podemos despejar \(y\):
\[
y = 20 - x
\]

### Paso 2: Expresar el área en términos de \(x\)
El área \(A\) de un rectángulo está dada por:
\[
A = x \cdot y
\]
Sustituyendo \(y = 20 - x\) en la ecuación del área:
\[
A = x \cdot (20 - x)
\]
\[
A = 20x - x^2
\]

### Paso 3: Determinar las posibles dimensiones que satisfacen el área mínima
Queremos que el área sea al menos 75 metros cuadrados, por lo que planteamos la siguiente desigualdad:
\[
20x - x^2 \geq 75
\]
Reordenamos la ecuación para formar una desigualdad cuadrática:
\[
-x^2 + 20x - 75 \geq 0
\]
Multiplicamos por \(-1\) para simplificar:
\[
x^2 - 20x + 75 \leq 0
\]

### Paso 4: Resolver la desigualdad cuadrática
Primero, encontramos las raíces de la ecuación cuadrática \(x^

Explore how to determine dimensions for an exhibition area using geometry and quadratic equations. Given a perimeter constraint of 40 meters and a minimum area requirement of 75 square meters, this problem involves calculating possible rectangular dimensions. Suitable for Grades 7-9 students.

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