Digite la respuesta correcta en forma rectangular de las operaciones indicadas:

 

a.     √−3
 √−27
 = Respuesta
 Respuesta
 Respuesta
 i

 

b.     i30
 = Respuesta
 Respuesta
 Respuesta
 i

 

c.     i8
 − 7i9
 − i10
 = Respuesta
2
 Respuesta
−
 Respuesta
7
 i

Vamos a resolver las operaciones indicadas paso a paso, trabajando en forma rectangular para números complejos.

### a) \(\sqrt{-3} \cdot \sqrt{-27}\)

1. Convertimos las raíces de números negativos en términos de \(i\), donde \(\sqrt{-1} = i\):

   \[
   \sqrt{-3} = i\sqrt{3}, \quad \sqrt{-27} = i\sqrt{27}
   \]

2. Multiplicamos los resultados:

   \[
   \sqrt{-3} \cdot \sqrt{-27} = (i\sqrt{3}) \cdot (i\sqrt{27}) = i^2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{27}
   \]

3. Simplificamos:

   \[
   i^2 = -1, \quad \sqrt{3} \cdot \sqrt{27} = \sqrt{81} = 9
   \]

4. Finalmente:

   \[
   \sqrt{-3} \cdot \sqrt{-27} = -9
   \]

   **Respuesta**: \(-9\)

---

### b) \(i^{30}\)

1. Sabemos que las potencias de \(i\) siguen un patrón cíclico:
   
   \[
   i^1 = i, \quad i^2 = -1, \quad i^3 = -i, \quad i^4 = 1, \quad \text{y se repite cada 4 potencias.}
   \]

2. Para calcular \(i^{30}\), dividimos el exponente por 4 y nos fijamos en el residuo:

   \[
   30 \div 4 = 7 \text{ con residuo } 2
   \]

3. Como el residuo es 2:

   \[
   i^{30} = i^2 = -1
   \]

   **Respuesta**: \(-1\)

---

### c) \(i^8 - 7i^9 - i^{10}\)

1. Calculamos cada potencia de \(i\) por separado, usando nuevamente el ciclo de 4:

   \[
   i^8 = (i^4)^2 = 1^2 = 1, \quad i^9 = i, \quad i^{10} = -1
   \]

2. Sustituimos los valores en la expresión:

   \[
   i^8 - 7i^9 - i^{10} = 1 - 7i - (-1)
   \]

3. Simplificamos:

   \[
   1 + 1 - 7i = 2 - 7i
   \]

   **Respuesta**: \(2 - 7i\)

---

### Resumen de respuestas:

a) \(\sqrt{-3} \cdot \sqrt{-27} = -9\)

b) \(i^{30} = -1\)

c) \(i^8 - 7i^9 - i^{10} = 2 - 7i\)

---

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta sobre estos cálculos?

### Preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se puede representar un número complejo en forma polar?
2. ¿Cómo se relaciona la forma rectangular y polar de un número complejo?
3. ¿Qué propiedades tienen las potencias de \(i\)?
4. ¿Cómo se realizan multiplicaciones y divisiones de números complejos?
5. ¿Cómo se pueden resolver ecuaciones con números complejos?

### Tip: Recuerda que las potencias de \(i\) siguen un patrón repetitivo cada 4 pasos.

Digite la respuesta correcta en forma rectangular de las operaciones indicadas:

a. √−3 · √−27 = Respuesta
b. i^30 = Respuesta
c. i^8 − 7i^9 − i^10 = Respuesta

Explore the detailed solutions to operations involving complex numbers. Learn how to solve √−3 · √−27, powers of i such as i^30, and the expression i^8 − 7i^9 − i^10, presented in rectangular form. Perfect for students in Grades 10-12.

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