Encuentre la solución al sistema de ecuaciones lineales y muestre a través de una prueba que su 
solución es correcta. Resuelva utilizando la eliminación Gauss-Jordan. 
𝑥1 + 2𝑥2 − 3𝑥3 = −4
2𝑥1 + 𝑥2 − 3𝑥3 = 4

Para resolver el sistema de ecuaciones lineales usando el método de eliminación Gauss-Jordan, primero convertiremos el sistema en una matriz aumentada y luego la transformaremos en su forma escalonada reducida de fila (REF) para encontrar las soluciones.

### Sistema de ecuaciones:
\[
\begin{cases}
x_1 + 2x_2 - 3x_3 = -4 \\
2x_1 + x_2 - 3x_3 = 4
\end{cases}
\]

### Matriz aumentada:
La matriz aumentada del sistema es:
\[
\begin{bmatrix}
1 & 2 & -3 & | & -4 \\
2 & 1 & -3 & | & 4
\end{bmatrix}
\]

Procederemos con la eliminación Gauss-Jordan paso a paso.

### Paso 1: Hacer cero el segundo término de la primera columna
Multiplicamos la primera fila por \(-2\) y la sumamos a la segunda fila para hacer cero el primer elemento de la segunda fila:

\[
\text{Fila}_2 = \text{Fila}_2 - 2 \times \text{Fila}_1
\]

\[
\begin{bmatrix}
1 & 2 & -3 & | & -4 \\
0 & -3 & 3 & | & 12
\end{bmatrix}
\]

### Paso 2: Escalar la segunda fila para obtener un 1 en la posición del pivote
Multiplicamos la segunda fila por \(-\frac{1}{3}\):

\[
\text{Fila}_2 = -\frac{1}{3} \times \text{Fila}_2
\]

\[
\begin{bmatrix}
1 & 2 & -3 & | & -4 \\
0 & 1 & -1 & | & -4
\end{bmatrix}
\]

### Paso 3: Hacer cero el segundo término de la primera fila
Restamos 2 veces la segunda fila de la primera fila:

\[
\text{Fila}_1 = \text{Fila}_1 - 2 \times \text{Fila}_2
\]

\[
\begin{bmatrix}
1 & 0 & -1 & | & 4 \\
0 & 1 & -1 & | & -4
\end{bmatrix}
\]

### Paso 4: Expresar la solución del sistema
La matriz ya está en su forma escalonada reducida de fila. Las ecuaciones correspondientes son:

\[
\begin{cases}
x_1 - x_3 = 4 \\
x_2 - x_3 = -4
\end{cases}
\]

Expresamos \(x_1\) y \(x_2\) en términos de \(x_3\):

\[
x_1 = 4 + x_3
\]
\[
x_2 = -4 + x_3
\]

Dado que \(x_3\) es un parámetro libre, la solución general del sistema es:

\[
\boxed{x_1 = 4 + t, \; x_2 = -4 + t, \; x_3 = t \quad \text{(donde } t \text{ es cualquier número real)}}
\]

### Verificación de la solución
Sustituimos \(x_1 = 4 + t\), \(x_2 = -4 + t\), y \(x_3 = t\) en las ecuaciones originales para comprobar que son correctas:

**Primera ecuación:**
\[
(4 + t) + 2(-4 + t) - 3t = -4
\]
\[
4 + t - 8 + 2t - 3t = -4
\]
\[
-4 = -4 \quad \text{(correcto)}
\]

**Segunda ecuación:**
\[
2(4 + t) + (-4 + t) - 3t = 4
\]
\[
8 + 2t - 4 + t - 3t = 4
\]
\[
4 = 4 \quad \text{(correcto)}
\]

La solución encontrada es correcta.

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo se aplicaría el método Gauss-Jordan si hubiera una tercera ecuación?
2. ¿Cómo interpretar una solución con parámetros libres en un sistema lineal?
3. ¿Qué cambios ocurren en la solución si uno de los coeficientes cambia?
4. ¿Cómo resolver sistemas no homogéneos usando otros métodos?
5. ¿Qué representa una solución infinita en un contexto práctico?

**Tip:** El método de eliminación Gauss-Jordan es ideal para encontrar la solución directa de sistemas lineales, pero puede ser tedioso para sistemas con muchas ecuaciones y variables.

Learn how to solve a system of linear equations using Gauss-Jordan elimination method with a step-by-step example. This problem covers systems of linear equations and the Gauss-Jordan elimination technique. Suitable for students in Grades 10-12.

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