considere una matriz aumentada 5 0 0 0 = 30, 0 1 0 7 =a+2, 0 0 1 6 = a. si (6.4.8.p) es la solucion del sistema, determine a + p

Para resolver este problema, consideremos primero la matriz aumentada y cómo se relaciona con el sistema de ecuaciones. La matriz aumentada dada es:

\[
\begin{bmatrix}
5 & 0 & 0 & 0 & \big| & 30 \\
0 & 1 & 0 & 7 & \big| & a + 2 \\
0 & 0 & 1 & 6 & \big| & a
\end{bmatrix}
\]

Esto corresponde a un sistema de ecuaciones lineales en la forma general:

1. \(5x + 0y + 0z + 0w = 30\)
2. \(0x + y + 0z + 7w = a + 2\)
3. \(0x + 0y + z + 6w = a\)

La solución del sistema dada es \((x, y, z, w) = (6, 4, 8, p)\).

Vamos a sustituir estos valores en las ecuaciones para encontrar el valor de \(a\) y \(p\).

### Paso 1: Sustituir en la primera ecuación

La primera ecuación es:

\[
5x = 30
\]

Sustituyendo \(x = 6\):

\[
5(6) = 30
\]

Esto es cierto, así que la primera ecuación se verifica.

### Paso 2: Sustituir en la segunda ecuación

La segunda ecuación es:

\[
y + 7w = a + 2
\]

Sustituyendo \(y = 4\) y \(w = p\):

\[
4 + 7p = a + 2
\]

### Paso 3: Sustituir en la tercera ecuación

La tercera ecuación es:

\[
z + 6w = a
\]

Sustituyendo \(z = 8\) y \(w = p\):

\[
8 + 6p = a
\]

Ahora tenemos dos ecuaciones para \(a\) y \(p\):

1. \(4 + 7p = a + 2\)
2. \(8 + 6p = a\)

### Paso 4: Resolver el sistema para \(a\) y \(p\)

Restamos la segunda ecuación de la primera para eliminar \(a\):

\[
(4 + 7p) - (8 + 6p) = (a + 2) - a
\]

Simplificando:

\[
4 + 7p - 8 - 6p = 2
\]

\[
p - 4 = 2
\]

\[
p = 6
\]

Ahora que tenemos \(p = 6\), sustituimos este valor en la segunda ecuación para encontrar \(a\):

\[
a = 8 + 6p
\]

\[
a = 8 + 6(6)
\]

\[
a = 8 + 36
\]

\[
a = 44
\]

### Paso 5: Calcular \(a + p\)

\[
a + p = 44 + 6 = 50
\]

Por lo tanto, el valor de \(a + p\) es \(\boxed{50}\).

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta sobre este proceso? Aquí tienes algunas preguntas relacionadas para explorar más:

1. ¿Cómo se puede resolver un sistema de ecuaciones lineales utilizando matrices aumentadas?
2. ¿Qué es una matriz escalonada y cómo se relaciona con la solución de sistemas lineales?
3. ¿Cómo se puede aplicar la eliminación de Gauss-Jordan en matrices aumentadas?
4. ¿Cuál es la importancia del rango de una matriz en la solución de sistemas de ecuaciones lineales?
5. ¿Cómo afecta el valor de \(p\) en la solución general del sistema si se cambia uno de los valores de la matriz aumentada?

**Tip:** Para resolver sistemas de ecuaciones lineales, puedes usar métodos algebraicos como sustitución y eliminación, o métodos matriciales como la eliminación de Gauss.

Learn how to solve a system of linear equations using an augmented matrix with step-by-step explanations. This problem involves matrix operations and substitution methods to find values of variables. Suitable for advanced high school students and anyone interested in linear algebra.

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