Necesito que le des solucion a este primer sistema de escuaciones por matriz aumentada, la primer fila es x+3y-2z=10, segunda fila es 2x+y-3z=5,c y tercer fila es 3x-2y+4z=-2

Para resolver el sistema de ecuaciones utilizando la matriz aumentada, primero vamos a escribir el sistema en forma matricial y luego aplicaremos operaciones para encontrar la solución. El sistema de ecuaciones es:

\[
\begin{aligned}
&\text{1. } x + 3y - 2z = 10 \\
&\text{2. } 2x + y - 3z = 5 \\
&\text{3. } 3x - 2y + 4z = -2
\end{aligned}
\]

### Paso 1: Escribir la matriz aumentada

La matriz aumentada correspondiente es:

\[
\begin{pmatrix}
1 & 3 & -2 & \vert & 10 \\
2 & 1 & -3 & \vert & 5 \\
3 & -2 & 4 & \vert & -2
\end{pmatrix}
\]

### Paso 2: Transformar la matriz en su forma escalonada reducida (RREF)

Aplicaremos operaciones elementales por filas (intercambios, multiplicaciones y sumas de filas) para llevar la matriz a su forma escalonada reducida. 

1. **Primera columna:** Queremos que el primer elemento de la primera columna sea 1 (ya lo es), y los demás en la columna sean 0. Para esto, restamos 2 veces la primera fila de la segunda y 3 veces la primera fila de la tercera.

   \[
   F_2 \rightarrow F_2 - 2F_1, \quad F_3 \rightarrow F_3 - 3F_1
   \]

   \[
   \begin{pmatrix}
   1 & 3 & -2 & \vert & 10 \\
   0 & -5 & 1 & \vert & -15 \\
   0 & -11 & 10 & \vert & -32
   \end{pmatrix}
   \]

2. **Segunda columna:** Queremos que el segundo elemento de la segunda columna sea 1. Dividimos la segunda fila por -5:

   \[
   F_2 \rightarrow \frac{1}{-5} F_2
   \]

   \[
   \begin{pmatrix}
   1 & 3 & -2 & \vert & 10 \\
   0 & 1 & -\frac{1}{5} & \vert & 3 \\
   0 & -11 & 10 & \vert & -32
   \end{pmatrix}
   \]

3. **Eliminar el segundo elemento de la tercera fila:** Sumamos 11 veces la segunda fila a la tercera fila para que el elemento (3,2) sea 0:

   \[
   F_3 \rightarrow F_3 + 11F_2
   \]

   \[
   \begin{pmatrix}
   1 & 3 & -2 & \vert & 10 \\
   0 & 1 & -\frac{1}{5} & \vert & 3 \\
   0 & 0 & \frac{49}{5} & \vert & 1
   \end{pmatrix}
   \]

4. **Tercera columna:** Queremos que el tercer elemento de la tercera columna sea 1. Multiplicamos la tercera fila por \(\frac{5}{49}\):

   \[
   F_3 \rightarrow \frac{5}{49} F_3
   \]

   \[
   \begin{pmatrix}
   1 & 3 & -2 & \vert & 10 \\
   0 & 1 & -\frac{1}{5} & \vert & 3 \\
   0 & 0 & 1 & \vert & \frac{5}{49}
   \end{pmatrix}
   \]

5. **Eliminar el tercer elemento de la primera y segunda fila:** Finalmente, realizamos operaciones para hacer que los elementos en la columna 3 de la primera y segunda fila sean 0.

   \[
   F_1 \rightarrow F_1 + 2F_3, \quad F_2 \rightarrow F_2 + \frac{1}{5}F_3
   \]

   \[
   \begin{pmatrix}
   1 & 3 & 0 & \vert & 10 + 2 \times \frac{5}{49} \\
   0 & 1 & 0 & \vert & 3 + \frac{1}{5} \times \frac{5}{49} \\
   0 & 0 & 1 & \vert & \frac{5}{49}
   \end{pmatrix}
   \]

Simplificando las operaciones:

\[
\begin{pmatrix}
1 & 3 & 0 & \vert & 10.204 \\
0 & 1 & 0 & \vert & 3.0204 \\
0 & 0 & 1 & \vert & \frac{5}{49}
\end{pmatrix}
\]

### Paso 3: Interpretar la solución

Finalmente, las soluciones del sistema son:

\[
x \approx 0.10204, \quad y \approx 3.0204, \quad z \approx 0.10204
\]

¿Deseas detalles adicionales o tienes alguna pregunta?

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**Preguntas relacionadas:**

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7. ¿Cómo se usa el método de Cramer para resolver sistemas de ecuaciones lineales?
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**Tip:** Cuando resuelvas sistemas de ecuaciones, siempre verifica que los resultados obtenidos satisfagan las ecuaciones originales.

Learn how to solve a system of linear equations using matrix augmentation. Step-by-step example and solution provided for a system involving variables x, y, and z. Suitable for Grades 10-12.

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