Supongamos que la matriz aumentada de un sistema de ecuaciones lineales en las incógnitas x , y y z es                                                                                                                                                     1           -3/2          -3    =  -16/3                                                                                                                                   3           -9/2          -9   =     -16                                                                                                                               2            -3              -6  =  -32/3                                                                                                                            El sistema tiene:

a) una solución única
 x=             y=                   z=  
 
 

b) número infinito de soluciones
 x=             y=                   z=                                                                                                                         x=             y=                   z=  

c)ninguna solución

Para determinar la solución del sistema de ecuaciones lineales dado por la matriz aumentada:

\[
\begin{pmatrix}
1 & -\frac{3}{2} & -3 & | & -\frac{16}{3} \\
3 & -\frac{9}{2} & -9 & | & -16 \\
2 & -3 & -6 & | & -\frac{32}{3}
\end{pmatrix}
\]

primero, transformemos esta matriz en una forma más manejable, como la forma escalonada reducida por filas (RREF).

La matriz aumentada es:

\[
\begin{pmatrix}
1 & -\frac{3}{2} & -3 & -\frac{16}{3} \\
3 & -\frac{9}{2} & -9 & -16 \\
2 & -3 & -6 & -\frac{32}{3}
\end{pmatrix}
\]

Empezamos con la primera fila y usamos operaciones elementales para simplificar las filas siguientes:

1. La primera fila ya está en una forma simple:
\[ \mathbf{R1} = \begin{pmatrix} 1 & -\frac{3}{2} & -3 & -\frac{16}{3} \end{pmatrix} \]

2. Simplificamos la segunda fila restando 3 veces la primera fila:
\[ \mathbf{R2} - 3\mathbf{R1} = \begin{pmatrix} 3 & -\frac{9}{2} & -9 & -16 \end{pmatrix} - 3 \begin{pmatrix} 1 & -\frac{3}{2} & -3 & -\frac{16}{3} \end{pmatrix} \]
\[ \mathbf{R2} - 3\mathbf{R1} = \begin{pmatrix} 3 - 3 & -\frac{9}{2} + \frac{9}{2} & -9 + 9 & -16 + 16 \end{pmatrix} \]
\[ \mathbf{R2} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]

3. Simplificamos la tercera fila restando 2 veces la primera fila:
\[ \mathbf{R3} - 2\mathbf{R1} = \begin{pmatrix} 2 & -3 & -6 & -\frac{32}{3} \end{pmatrix} - 2 \begin{pmatrix} 1 & -\frac{3}{2} & -3 & -\frac{16}{3} \end{pmatrix} \]
\[ \mathbf{R3} - 2\mathbf{R1} = \begin{pmatrix} 2 - 2 & -3 + 3 & -6 + 6 & -\frac{32}{3} + \frac{32}{3} \end{pmatrix} \]
\[ \mathbf{R3} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]

La matriz reducida es:

\[
\begin{pmatrix}
1 & -\frac{3}{2} & -3 & -\frac{16}{3} \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\]

La única ecuación no trivial es:
\[ x - \frac{3}{2}y - 3z = -\frac{16}{3} \]

Esta ecuación tiene infinitas soluciones ya que hay dos variables libres \( y \) y \( z \). Podemos expresar \( x \) en términos de \( y \) y \( z \):

\[ x = \frac{16}{3} + \frac{3}{2}y + 3z \]

Por lo tanto, el sistema tiene un número infinito de soluciones.

**Solución:**

\[ 
\begin{cases} 
x = \frac{16}{3} + \frac{3}{2}y + 3z \\
y = y \\
z = z 
\end{cases}
\]

Esto corresponde a la opción b) número infinito de soluciones.

¿Desea detalles adicionales o tiene alguna pregunta? 

Aquí hay 5 preguntas que puede hacer:

1. ¿Cómo se determinan las variables libres en un sistema de ecuaciones lineales?
2. ¿Qué significan las filas de ceros en una matriz aumentada?
3. ¿Cómo se puede verificar si un sistema tiene soluciones infinitas o ninguna solución?
4. ¿Qué es la forma escalonada reducida por filas (RREF)?
5. ¿Cuáles son las operaciones elementales de fila utilizadas para simplificar matrices?

**Tip:** La forma escalonada reducida por filas (RREF) es una herramienta poderosa para resolver sistemas de ecuaciones lineales y determinar el tipo de solución (única, infinita, o ninguna).

Explore the solution process for a system of linear equations using an augmented matrix. Understand how row operations transform the augmented matrix to determine the type of solution. Suitable for high school students studying linear algebra.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation