
1. Tentukan matriks Gaus Jordan dari	
X + 2y - 4z = 6	
5x + 3y - 2z = 8	
3x + 2y + 2z = 5	
Tentukan nilai nilai X ,Y dan Z 	


Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear menggunakan metode eliminasi Gauss-Jordan, kita perlu membentuk matriks augmented dari persamaan yang diberikan dan kemudian melakukan operasi baris elementer untuk mencapai bentuk eselon tereduksi.

Persamaan yang diberikan adalah:
\[
\begin{cases}
x + 2y - 4z = 6 \\
5x + 3y - 2z = 8 \\
3x + 2y + 2z = 5 \\
\end{cases}
\]

Matriks augmented dari sistem persamaan ini adalah:
\[
\left[\begin{array}{ccc|c}
1 & 2 & -4 & 6 \\
5 & 3 & -2 & 8 \\
3 & 2 & 2 & 5 \\
\end{array}\right]
\]

Langkah-langkah untuk mencapai bentuk eselon tereduksi Gauss-Jordan adalah sebagai berikut:

1. **Membentuk pivot di baris pertama:**

Kita sudah memiliki 1 di posisi pivot (1,1). Selanjutnya kita akan melakukan operasi untuk mengeliminasi entri di bawah pivot ini.

\[
R2 = R2 - 5R1 \quad \text{dan} \quad R3 = R3 - 3R1
\]

\[
\left[\begin{array}{ccc|c}
1 & 2 & -4 & 6 \\
0 & -7 & 18 & -22 \\
0 & -4 & 14 & -13 \\
\end{array}\right]
\]

2. **Membentuk pivot di baris kedua:**

Sekarang kita perlu membuat pivot kedua (2,2) menjadi 1. Untuk itu, kita bagi baris kedua dengan -7.

\[
R2 = \frac{R2}{-7}
\]

\[
\left[\begin{array}{ccc|c}
1 & 2 & -4 & 6 \\
0 & 1 & -\frac{18}{7} & \frac{22}{7} \\
0 & -4 & 14 & -13 \\
\end{array}\right]
\]

Selanjutnya, kita akan mengeliminasi entri di atas dan di bawah pivot kedua ini.

\[
R1 = R1 - 2R2 \quad \text{dan} \quad R3 = R3 + 4R2
\]

\[
\left[\begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & \frac{4}{7} & \frac{10}{7} \\
0 & 1 & -\frac{18}{7} & \frac{22}{7} \\
0 & 0 & \frac{2}{7} & \frac{1}{7} \\
\end{array}\right]
\]

3. **Membentuk pivot di baris ketiga:**

Sekarang kita perlu membuat pivot ketiga (3,3) menjadi 1. Untuk itu, kita bagi baris ketiga dengan \(\frac{2}{7}\).

\[
R3 = \frac{R3}{\frac{2}{7}}
\]

\[
\left[\begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & \frac{4}{7} & \frac{10}{7} \\
0 & 1 & -\frac{18}{7} & \frac{22}{7} \\
0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} \\
\end{array}\right]
\]

Selanjutnya, kita akan mengeliminasi entri di atas pivot ketiga ini.

\[
R1 = R1 - \frac{4}{7}R3 \quad \text{dan} \quad R2 = R2 + \frac{18}{7}R3
\]

\[
\left[\begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} \\
\end{array}\right]
\]

Jadi, solusi dari sistem persamaan ini adalah:
\[
x = 1, \quad y = 1, \quad z = \frac{1}{2}
\]

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau ada pertanyaan lain?

**Silakan pilih salah satu dari pertanyaan berikut untuk melanjutkan:**

1. Bagaimana cara menyelesaikan sistem persamaan linear dengan metode lain?
2. Apa perbedaan antara metode Gauss dan Gauss-Jordan?
3. Bagaimana cara menggunakan matriks invers untuk menyelesaikan sistem persamaan linear?
4. Bisakah Anda menjelaskan lebih lanjut tentang bentuk eselon tereduksi?
5. Bagaimana cara menentukan apakah sistem persamaan linear memiliki solusi unik, tak terbatas, atau tidak ada solusi?

**Tip:** Dalam metode Gauss-Jordan, penting untuk mengeliminasi elemen-elemen di atas dan di bawah pivot untuk mencapai bentuk eselon tereduksi yang memungkinkan solusi langsung dari sistem persamaan.

Learn how to solve a system of linear equations using Gauss-Jordan elimination method step-by-step. This problem involves matrices, row operations, and finding solutions for variables X, Y, and Z. Suitable for advanced high school students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation