resuelveme el siguiente sistema por metodo de Gauus Jordan x+2y-z=-3, 3y+4z=5, 2x-y+3z=9

Para resolver el sistema de ecuaciones usando el método de Gauss-Jordan, primero debemos expresar el sistema en forma de matriz aumentada:

\[
\begin{pmatrix}
1 & 2 & -1 & \vert & -3 \\
0 & 3 & 4 & \vert & 5 \\
2 & -1 & 3 & \vert & 9
\end{pmatrix}
\]

Ahora, realizamos operaciones fila para convertir esta matriz en una matriz identidad, lo que nos dará las soluciones de las variables.

**Paso 1: Hacer cero el elemento en la fila 3, columna 1.**

Restamos 2 veces la fila 1 a la fila 3:

\[
\text{F3} \rightarrow \text{F3} - 2\cdot\text{F1}
\]

\[
\begin{pmatrix}
1 & 2 & -1 & \vert & -3 \\
0 & 3 & 4 & \vert & 5 \\
0 & -5 & 5 & \vert & 15
\end{pmatrix}
\]

**Paso 2: Hacer cero el elemento en la fila 2, columna 2.**

Dividimos la fila 2 por 3:

\[
\text{F2} \rightarrow \frac{1}{3} \cdot \text{F2}
\]

\[
\begin{pmatrix}
1 & 2 & -1 & \vert & -3 \\
0 & 1 & \frac{4}{3} & \vert & \frac{5}{3} \\
0 & -5 & 5 & \vert & 15
\end{pmatrix}
\]

**Paso 3: Hacer cero el elemento en la fila 3, columna 2.**

Sumamos 5 veces la fila 2 a la fila 3:

\[
\text{F3} \rightarrow \text{F3} + 5\cdot\text{F2}
\]

\[
\begin{pmatrix}
1 & 2 & -1 & \vert & -3 \\
0 & 1 & \frac{4}{3} & \vert & \frac{5}{3} \\
0 & 0 & \frac{35}{3} & \vert & \frac{70}{3}
\end{pmatrix}
\]

**Paso 4: Hacer que el coeficiente de \( z \) sea 1.**

Multiplicamos la fila 3 por \( \frac{3}{35} \):

\[
\text{F3} \rightarrow \frac{3}{35} \cdot \text{F3}
\]

\[
\begin{pmatrix}
1 & 2 & -1 & \vert & -3 \\
0 & 1 & \frac{4}{3} & \vert & \frac{5}{3} \\
0 & 0 & 1 & \vert & 2
\end{pmatrix}
\]

**Paso 5: Hacer ceros en los elementos de la columna 3 para la fila 1 y la fila 2.**

Restamos la fila 3 a la fila 1:

\[
\text{F1} \rightarrow \text{F1} + \text{F3}
\]

Y restamos \( \frac{4}{3} \) veces la fila 3 a la fila 2:

\[
\text{F2} \rightarrow \text{F2} - \frac{4}{3} \cdot \text{F3}
\]

\[
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 0 & \vert & -1 \\
0 & 1 & 0 & \vert & -1 \\
0 & 0 & 1 & \vert & 2
\end{pmatrix}
\]

**Paso 6: Hacer cero el elemento en la fila 1, columna 2.**

Restamos 2 veces la fila 2 a la fila 1:

\[
\text{F1} \rightarrow \text{F1} - 2\cdot\text{F2}
\]

\[
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & \vert & 1 \\
0 & 1 & 0 & \vert & -1 \\
0 & 0 & 1 & \vert & 2
\end{pmatrix}
\]

La matriz identidad obtenida nos da las soluciones:

\[
x = 1, \quad y = -1, \quad z = 2
\]

**Solución final:** \( x = 1 \), \( y = -1 \), \( z = 2 \).

¿Te gustaría más detalles sobre el proceso? Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se aplica el método de Gauss-Jordan en sistemas con infinitas soluciones?
2. ¿Qué sucede si una fila se convierte en cero durante el método?
3. ¿Es posible resolver sistemas no lineales con el método de Gauss-Jordan?
4. ¿Cómo afecta el orden de las ecuaciones al resultado en el método de Gauss-Jordan?
5. ¿Qué otros métodos existen para resolver sistemas de ecuaciones lineales?

**Tip:** En algunos casos, es más sencillo trabajar con fracciones en lugar de decimales para evitar errores en cálculos largos.

Learn how to solve the system of equations x + 2y - z = -3, 3y + 4z = 5, 2x - y + 3z = 9 using the Gauss-Jordan method. This detailed solution involves transforming the augmented matrix step-by-step to obtain the values of x, y, and z. Suitable for advanced high school or college students studying linear algebra.

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