En los ejercicios del 5 al 18, se da una función cuadrática.
a. Exprese la función cuadrática en la forma estándar.
b. Halle su vértice y sus intersectos en x y y.
c. Halle sus valores máximo o mínimo.
d. Bosqueje su gráfica.
7. 𝑓(𝑥) = 2𝑥
2 + 6𝑥 

Para resolver el ejercicio dado, la función cuadrática es:

\[ f(x) = 2x^2 + 6x \]

Vamos a abordar cada uno de los apartados requeridos:

### a. Expresar la función cuadrática en la forma estándar

La forma estándar de una función cuadrática es:

\[ f(x) = a(x - h)^2 + k \]

Donde \((h, k)\) es el vértice de la parábola.

Primero, completamos el cuadrado para expresar la función en la forma estándar.

\[ f(x) = 2(x^2 + 3x) \]

Ahora completamos el cuadrado dentro del paréntesis:

1. Tomamos el coeficiente de \(x\), que es \(3\), lo dividimos entre 2 y luego lo elevamos al cuadrado:
   \[
   \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}
   \]

2. Añadimos y restamos \(\frac{9}{4}\) dentro del paréntesis:
   \[
   f(x) = 2\left(x^2 + 3x + \frac{9}{4} - \frac{9}{4}\right)
   \]
   \[
   f(x) = 2\left(\left(x + \frac{3}{2}\right)^2 - \frac{9}{4}\right)
   \]

3. Simplificamos:
   \[
   f(x) = 2\left(x + \frac{3}{2}\right)^2 - \frac{9}{2}
   \]

Entonces, la forma estándar es:

\[ f(x) = 2\left(x + \frac{3}{2}\right)^2 - \frac{9}{2} \]

### b. Hallar el vértice y los interceptos en \(x\) y \(y\)

- **Vértice**: De la forma estándar, sabemos que el vértice está en \((h, k)\), donde \(h = -\frac{3}{2}\) y \(k = -\frac{9}{2}\). Entonces, el vértice es:
  \[
  V\left(-\frac{3}{2}, -\frac{9}{2}\right)
  \]

- **Intercepto en \(y\)**: Para encontrar el intercepto en \(y\), evaluamos la función en \(x = 0\):
  \[
  f(0) = 2(0)^2 + 6(0) = 0
  \]
  El intercepto en \(y\) es \( (0, 0) \).

- **Interceptos en \(x\)**: Para encontrar los interceptos en \(x\), resolvemos \(f(x) = 0\):
  \[
  2x^2 + 6x = 0
  \]
  Factorizamos:
  \[
  2x(x + 3) = 0
  \]
  Esto nos da dos soluciones:
  \[
  x = 0 \quad \text{y} \quad x = -3
  \]
  Entonces, los interceptos en \(x\) son \( (0, 0) \) y \( (-3, 0) \).

### c. Hallar el valor máximo o mínimo

Dado que la parábola abre hacia arriba (porque \(a = 2 > 0\)), tiene un **mínimo** en el vértice. El valor mínimo es el valor de \(f(x)\) en el vértice:

\[
\text{Valor mínimo} = f\left(-\frac{3}{2}\right) = -\frac{9}{2}
\]

### d. Bosquejar su gráfica

La gráfica es una parábola que tiene su vértice en \(\left(-\frac{3}{2}, -\frac{9}{2}\right)\), interceptos en \(x\) en \((0, 0)\) y \((-3, 0)\), y un intercepto en \(y\) en \((0, 0)\). La parábola abre hacia arriba, con su punto más bajo en el vértice.

### ¿Quieres los detalles o tienes alguna pregunta?

### Preguntas Relacionadas:

1. ¿Cómo se determina si una parábola tiene un máximo o un mínimo?
2. ¿Qué significa completar el cuadrado en una ecuación cuadrática?
3. ¿Cómo se identifican los coeficientes \(a\), \(b\), y \(c\) en una función cuadrática?
4. ¿Qué relación hay entre el discriminante y el número de soluciones reales de una cuadrática?
5. ¿Cómo se puede usar la derivada para encontrar el vértice de una parábola?

### Tip:
Recuerda que en una función cuadrática, si \(a > 0\), la parábola abre hacia arriba, y si \(a < 0\), la parábola abre hacia abajo.

Learn how to solve the quadratic function f(x) = 2x^2 + 6x by completing the square. Find the vertex, intercepts, and sketch the graph. Suitable for high school students studying quadratic functions and algebra.

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