Um grupo de amigos alugou um mini ônibus para uma excursão, acertando um valor total de 342 reais. Quando chegaram da viagem, três dos amigos não tinham dinheiro para pagar sua cota. Por isso, os outros amigos tiveram que completar o total, pagando, cada um deles, 19 reais a mais. Qual o número de pessoas nesse grupo?

Vamos resolver o problema passo a passo:

1. Denotemos o número total de amigos no grupo por \( n \).
2. O valor total a ser pago é 342 reais.
3. Se todos os amigos tivessem dinheiro, cada um pagaria \( \frac{342}{n} \) reais.
4. Como três amigos não pagaram, os outros \( n - 3 \) amigos tiveram que pagar o total, e cada um desses \( n - 3 \) pagou 19 reais a mais do que pagaria se todos pagassem.

Então, se \( x \) for o valor que cada pessoa deveria pagar inicialmente, temos:

\[ x = \frac{342}{n} \]

Os \( n - 3 \) amigos pagaram cada um:

\[ x + 19 \]

O total pago pelos \( n - 3 \) amigos é:

\[ (x + 19)(n - 3) = 342 \]

Substituindo \( x \) por \( \frac{342}{n} \), temos:

\[ \left(\frac{342}{n} + 19\right)(n - 3) = 342 \]

Distribuindo e simplificando a expressão:

\[ \frac{342(n - 3)}{n} + 19(n - 3) = 342 \]

Multiplicando ambos os lados da equação por \( n \) para eliminar o denominador:

\[ 342(n - 3) + 19n(n - 3) = 342n \]

Simplificando:

\[ 342n - 1026 + 19n^2 - 57n = 342n \]

Cancelando \( 342n \) dos dois lados:

\[ 19n^2 - 57n - 1026 = 0 \]

Essa é uma equação quadrática na forma padrão \( an^2 + bn + c = 0 \). Para resolvê-la, usaremos a fórmula de Bhaskara:

\[ n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Aqui, \( a = 19 \), \( b = -57 \) e \( c = -1026 \). Substituindo esses valores na fórmula:

\[ n = \frac{-(-57) \pm \sqrt{(-57)^2 - 4 \cdot 19 \cdot (-1026)}}{2 \cdot 19} \]

\[ n = \frac{57 \pm \sqrt{3249 + 77808}}{38} \]

\[ n = \frac{57 \pm \sqrt{81057}}{38} \]

\[ n = \frac{57 \pm 284.68}{38} \]

Considerando as duas soluções possíveis:

\[ n = \frac{57 + 284.68}{38} \approx 9 \]
\[ n = \frac{57 - 284.68}{38} \approx -6 \]

Como \( n \) deve ser um número positivo, temos \( n = 9 \).

Portanto, o número de pessoas no grupo é \( 9 \).

Você quer mais detalhes ou tem alguma pergunta sobre essa solução?

Aqui estão 5 perguntas para você praticar:

1. Como resolver equações quadráticas usando a fórmula de Bhaskara?
2. Qual é a diferença entre média aritmética e média ponderada?
3. Como calcular o valor presente de uma série de pagamentos futuros?
4. O que é uma função injetora e como identificá-la?
5. Como resolver sistemas de equações lineares usando o método da eliminação? 

**Dica:** Sempre verifique suas soluções substituindo-as de volta nas equações originais para garantir a precisão.

Learn how to solve a problem involving dividing bus fare among friends. Understand the application of quadratic equations and Bhaskara's formula in finding the number of friends in the group. Suitable for students in Grades 7-9.

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