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estas son las opciones de este enunciado, me puedes ayudar a resolver paso a paso por favor: Considere la  \int \frac{x^2+3x-6}{x^3+x^2-9x-9} \ dx  la cual de debe solucionar por medio de fracciones parciles, 

En el proceso de descomponer el integrando en fracciones parciales se obtienen las siguientes constantes ordenadas de menor a mayor

Para resolver la integral \(\int \frac{x^2 + 3x - 6}{x^3 + x^2 - 9x - 9} \, dx\) mediante fracciones parciales, necesitamos descomponer el integrando en sumas de fracciones parciales. Vamos a hacer esto paso a paso:

### 1. Factorización del denominador
Primero, debemos factorizar el denominador \(x^3 + x^2 - 9x - 9\). Intentaremos factorizarlo buscando raíces posibles para \(x\) usando el teorema del factor.

Dividiendo \(x^3 + x^2 - 9x - 9\) entre \(x + 3\) (porque \(-3\) es una raíz) obtenemos:
\[
x^3 + x^2 - 9x - 9 = (x + 3)(x^2 - 2x - 3)
\]
Luego, el trinomio cuadrático \(x^2 - 2x - 3\) se puede factorizar como:
\[
x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1)
\]
Por lo tanto:
\[
x^3 + x^2 - 9x - 9 = (x + 3)(x - 3)(x + 1)
\]

### 2. Descomposición en fracciones parciales
Ahora descomponemos la fracción:
\[
\frac{x^2 + 3x - 6}{(x + 3)(x - 3)(x + 1)}
\]
en fracciones parciales:
\[
\frac{x^2 + 3x - 6}{(x + 3)(x - 3)(x + 1)} = \frac{A}{x + 3} + \frac{B}{x - 3} + \frac{C}{x + 1}
\]
Multiplicando ambos lados de la ecuación por el denominador \((x + 3)(x - 3)(x + 1)\), obtenemos:
\[
x^2 + 3x - 6 = A(x - 3)(x + 1) + B(x + 3)(x + 1) + C(x + 3)(x - 3)
\]
Expandiendo y agrupando términos semejantes:
\[
x^2 + 3x - 6 = A(x^2 - 2x - 3) + B(x^2 + 4x + 3) + C(x^2 - 9)
\]

Comparando coeficientes de \(x^2\), \(x\), y el término independiente, obtenemos:
- \(A + B + C = 1\)  (coeficiente de \(x^2\))
- \(-2A + 4B = 3\)  (coeficiente de \(x\))
- \(-3A + 3B - 9C = -6\)  (coeficiente independiente)

### 3. Resolviendo el sistema de ecuaciones
Resolvemos el sistema para \(A\), \(B\) y \(C\):

- \(A + B + C = 1\)
- \(-2A + 4B = 3\)
- \(-3A + 3B - 9C = -6\)

El sistema de ecuaciones resulta en:
- \(A = -\frac{3}{2}\)
- \(B = 1\)
- \(C = \frac{3}{2}\)

Por lo tanto, las constantes ordenadas de menor a mayor son \(-\frac{3}{2}\), \(1\), y \(\frac{3}{2}\).

### 4. Selección de la opción correcta
Al revisar las opciones proporcionadas en la imagen:
- Opción 1: \(A = -\frac{3}{2}\), \(B = 1\), \(C = \frac{3}{2}\)

Esta es la opción correcta. 

¿Te gustaría más detalles sobre algún paso o tienes alguna pregunta adicional?

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo se identifican raíces al factorizar polinomios cúbicos?
2. ¿Qué técnicas pueden usarse si el denominador no se puede factorizar fácilmente?
3. ¿Cómo se manejan las fracciones parciales cuando hay raíces complejas?
4. ¿Cuál es la importancia de comparar coeficientes al descomponer fracciones parciales?
5. ¿Cómo se realiza la integración una vez que se han encontrado las fracciones parciales?

### Tip:
Al resolver integrales por fracciones parciales, siempre verifica si el denominador se puede factorizar completamente antes de proceder, ya que esto simplifica enormemente el problema.

Learn how to solve the integral ∫(x^2 + 3x - 6) / (x^3 + x^2 - 9x - 9) using partial fraction decomposition step-by-step. This problem covers integration techniques involving polynomial factorization and partial fractions. Suitable for advanced high school students and college-level calculus courses.

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