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Vamos a resolver el sistema de ecuaciones dado y luego interpretaremos geométricamente la solución en el gráfico.

### Sistema de ecuaciones

\[
\begin{aligned}
1. & \quad 3x - 2y = -3 \\
2. & \quad -x + \frac{1}{2}y = \frac{1}{2} \\
3. & \quad 3x - y = 0
\end{aligned}
\]

### Paso 1: Resolver el sistema de ecuaciones

Empezaremos resolviendo las ecuaciones simultáneamente.

#### a) Ecuación 3: \( 3x - y = 0 \)

De esta ecuación, despejamos \(y\):

\[
y = 3x
\]

#### b) Sustituimos \(y = 3x\) en la primera ecuación \(3x - 2y = -3\):

\[
3x - 2(3x) = -3
\]

\[
3x - 6x = -3
\]

\[
-3x = -3 \implies x = 1
\]

Ahora que tenemos \(x = 1\), sustituimos este valor en \(y = 3x\):

\[
y = 3(1) = 3
\]

Así que \(x = 1\) y \(y = 3\).

#### c) Verificamos con la segunda ecuación \( -x + \frac{1}{2}y = \frac{1}{2} \):

Sustituyendo \(x = 1\) y \(y = 3\):

\[
-(1) + \frac{1}{2}(3) = \frac{1}{2}
\]

\[
-1 + \frac{3}{2} = \frac{1}{2}
\]

\[
\frac{-2}{2} + \frac{3}{2} = \frac{1}{2}
\]

\[
\frac{1}{2} = \frac{1}{2}
\]

La solución \(x = 1\) y \(y = 3\) es correcta.

### Paso 2: Interpretación geométrica

La solución geométrica de este sistema corresponde al punto de intersección de las tres rectas en el plano cartesiano. Sabemos que todas las ecuaciones se intersectan en el punto \((1, 3)\). Dibujando las tres rectas:

1. La primera recta, \(3x - 2y = -3\), tiene pendiente \(m = \frac{3}{2}\) y corta el eje \(y\) en \((-3/2)\).
2. La segunda recta, \(-x + \frac{1}{2}y = \frac{1}{2}\), se puede reescribir como \(y = 2x + 1\), lo que indica que tiene pendiente \(m = 2\) y corta el eje \(y\) en \(1\).
3. La tercera recta, \(3x - y = 0\), se reescribe como \(y = 3x\), lo que significa que tiene pendiente \(3\) y pasa por el origen.

Estas tres rectas se intersectan en el punto \( (1, 3) \), que es la solución

Resuelve el sistema e interpreta geométricamente la solución. 3x - 2y = -3; -x + (1/2)y = 1/2; 3x - y = 0

Learn how to solve a system of linear equations using substitution and interpret the solution geometrically by graphing. This problem involves three equations: 3x - 2y = -3, -x + (1/2)y = 1/2, and 3x - y = 0. Suitable for high school students.

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