Si un objeto viaja la mitad de su trayectoria total en el último segundo de su caída desde el reposo,
halle (a) el tiempo y (b) la altura de su caída. Explique la solución físicamente inaceptable de la
ecuación cuadrática del tiempo.

Este problema es un ejemplo clásico de movimiento uniformemente acelerado bajo la influencia de la gravedad. Para resolverlo, vamos a aplicar las ecuaciones del movimiento en caída libre y luego discutir la solución físicamente inaceptable.

### Datos:
- El objeto cae desde el reposo, lo que implica que la velocidad inicial \(v_0 = 0\).
- La aceleración es la aceleración debida a la gravedad \(g = 9.8 \, \text{m/s}^2\).
- La mitad de la trayectoria total se recorre en el último segundo.

### Solución:

#### 1. Ecuaciones del movimiento

Para un objeto en caída libre desde el reposo:

\[
y(t) = \frac{1}{2} g t^2
\]

Donde:
- \(y(t)\) es la altura recorrida en el tiempo \(t\).
- \(g\) es la aceleración debida a la gravedad.

La altura total de la caída será:

\[
h = \frac{1}{2} g t^2
\]

La distancia recorrida en el último segundo (desde \(t-1\) hasta \(t\)) es:

\[
\Delta y = y(t) - y(t-1)
\]

Sustituyendo las ecuaciones de las posiciones:

\[
\Delta y = \frac{1}{2} g t^2 - \frac{1}{2} g (t-1)^2
\]

#### 2. Planteamiento del problema

Dado que la distancia recorrida en el último segundo es la mitad de la altura total:

\[
\frac{1}{2} h = \frac{1}{2} g t^2 - \frac{1}{2} g (t-1)^2
\]

Sustituyendo \(h = \frac{1}{2} g t^2\):

\[
\frac{1}{2} \left(\frac{1}{2} g t^2\right) = \frac{1}{2} g t^2 - \frac{1}{2} g (t-1)^2
\]

Simplificando:

\[
\frac{1}{4} g t^2 = \frac{1}{2} g (2t - 1)
\]

Dividiendo ambos lados por \(\frac{1}{2} g\):

\[
\frac{1}{2} t^2 = 2t - 1
\]

Multiplicando por 2 para eliminar el fraccionario:

\[
t^2 - 4t + 2 = 0
\]

#### 3. Solución de la ecuación cuadrática

Resolviendo esta ecuación cuadrática utilizando la fórmula general:

\[
t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Donde \(a = 1\), \(b = -4\) y \(c = 2\):

\[
t = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(2)}}{2(1)}
\]

\[
t = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2}
\]

\[
t = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2}
\]

\[
t = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{2}
\]

\[
t = 2 \pm \sqrt{2}
\]

#### 4. Interpretación de las soluciones

Las soluciones son:

\[
t_1 = 2 + \sqrt{2} \approx 3.41 \, \text{s}
\]

\[
t_2 = 2 - \sqrt{2} \approx 0.59 \, \text{s}
\]

**Físicamente, solo es aceptable la solución positiva más grande, es decir, \(t_1 = 3.41\) s**, porque el tiempo no puede ser negativo ni menor que 1 segundo en este contexto.

#### 5. Altura de la caída

Ahora calculamos la altura:

\[
h = \frac{1}{2} g t^2 = \frac{1}{2} (9.8) (3.41)^2 \approx 57 \, \text{m}
\]

#### 6. Solución físicamente inaceptable

La solución \(t_2 = 0.59\) s es físicamente inaceptable porque sugiere que el objeto recorrió la mitad de la distancia total en menos de 1 segundo, lo que es inconsistente con el hecho de que la mitad de la trayectoria se recorre en el último segundo.

### Resumen

- **(a) Tiempo de caída:** \(t = 3.41 \, \text{s}\)
- **(b) Altura de caída:** \(h \approx 57 \, \text{m}\)

### Preguntas Relacionadas:

1. ¿Cómo cambiaría el problema si el objeto comenzara con una velocidad inicial no nula?
2. ¿Qué pasaría si el objeto estuviera cayendo en un medio con resistencia al aire?
3. ¿Cómo afectaría una aceleración gravitatoria diferente a la altura de la caída?
4. ¿Cómo se resolvería el problema si la aceleración gravitatoria variara con la altura?
5. ¿Cómo se puede verificar experimentalmente la solución de este problema?

### Tip:
Al resolver ecuaciones cuadráticas, siempre verifica que las soluciones tengan sentido físico dentro del contexto del problema.

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