Un equipo de fútbol hasta 864 soles en adquirir cierto numero de pelotas. Si el costo de cada pelota excede en 5 al numero de estas.¿Cuánto gastará otro equipo de fútbol en adquirir 42 pelotas?            12.Gael corta un alambre de 12M en dos partes y dobla cada una de ellas formando cuadrados para elaborar adornos navideños. Si el área total comprendida es 5M^2, determina la longitud del trozo mas grande

Vamos a resolver cada problema por separado.

### Problema 1: Costo de las pelotas

Primero, definimos las variables:
- Sea \( n \) el número de pelotas que compró el equipo.
- Sea \( p \) el costo de cada pelota en soles.

Según el enunciado, el costo de cada pelota excede en 5 al número de pelotas, es decir:
\[
p = n + 5
\]

El equipo gasta un total de 864 soles en las pelotas, así que podemos escribir la ecuación:
\[
n \times p = 864
\]
Sustituyendo \( p = n + 5 \) en la ecuación:
\[
n \times (n + 5) = 864
\]
Esto se expande a:
\[
n^2 + 5n - 864 = 0
\]

Ahora resolvemos esta ecuación cuadrática usando la fórmula general:
\[
n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
donde \( a = 1 \), \( b = 5 \), y \( c = -864 \). Sustituyendo estos valores:
\[
n = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4(1)(-864)}}{2(1)}
\]
\[
n = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 3456}}{2}
\]
\[
n = \frac{-5 \pm \sqrt{3481}}{2}
\]
\[
n = \frac{-5 \pm 59}{2}
\]
Entonces, tenemos dos posibles soluciones:
\[
n = \frac{54}{2} = 27 \quad \text{(valor positivo, que tiene sentido)}
\]
\[
n = \frac{-64}{2} = -32 \quad \text{(valor negativo, que no tiene sentido en este contexto)}
\]
Por lo tanto, el número de pelotas es \( n = 27 \). El costo de cada pelota es:
\[
p = 27 + 5 = 32 \, \text{soles}
\]

Ahora, para otro equipo que quiere comprar 42 pelotas, el costo será:
\[
\text{Costo total} = 42 \times 32 = 1344 \, \text{soles}
\]

### Problema 2: Longitud del trozo más grande

Vamos a resolver el problema del alambre. Sea \( x \) la longitud de una de las partes, y \( y \) la longitud de la otra parte. Sabemos que:
\[
x + y = 12 \, \text{metros}
\]

Cada parte se dobla para formar un cuadrado. Entonces, los lados de los cuadrados serán:
\[
\frac{x}{4} \quad \text{y} \quad \frac{y}{4}
\]
El área de los cuadrados es:
\[
\text{Área total} = \left(\frac{x}{4}\right)^2 + \left(\frac{y}{4}\right)^2 = \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{16} = 5 \, \text{m}^2
\]

Multiplicando toda la ecuación por 16 para eliminar el denominador:
\[
x^2 + y^2 = 80
\]

Ahora, usando la identidad \( (x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy \) y \( x + y = 12 \):
\[
144 = 80 + 2xy
\]
\[
2xy = 64 \quad \Rightarrow \quad xy = 32
\]

Para encontrar las longitudes de \( x \) y \( y \), resolvemos el sistema:
\[
x + y = 12
\]
\[
xy = 32
\]

Este sistema se resuelve como una ecuación cuadrática:
\[
t^2 - 12t + 32 = 0
\]
Resolviendo:
\[
t = \frac{12 \pm \sqrt{12^2 - 4 \times 1 \times 32}}{2}
\]
\[
t = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 128}}{2} = \frac{12 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{12 \pm 4}{2}
\]
Entonces:
\[
t_1 = \frac{16}{2} = 8 \, \text{metros} \quad \text{y} \quad t_2 = \frac{8}{2} = 4 \, \text{metros}
\]

La longitud del trozo más grande es \( 8 \, \text{metros} \).

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta? Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se resuelve una ecuación cuadrática utilizando factorización en lugar de la fórmula general?
2. ¿Qué otras aplicaciones tienen los conceptos de áreas de figuras geométricas en problemas cotidianos?
3. ¿Cómo puedes verificar la solución de una ecuación cuadrática?
4. ¿Qué pasaría si en el problema del alambre se doblara para formar triángulos en lugar de cuadrados?
5. ¿Cómo se determinaría el costo si el precio de cada pelota disminuyera en proporción al número de pelotas compradas?

**Tip:** Al resolver ecuaciones cuadráticas, verificar los pasos intermedios ayuda a evitar errores en el cálculo final.

Explore how to solve mathematical problems involving the cost of footballs and wire length for Christmas decorations. This includes solving quadratic equations and applying geometric concepts. Suitable for Grades 10-12 students and anyone interested in practical math applications.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation