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resuelve esas 4 desigualdades y explica como lo hiciste

Voy a resolver las cuatro desigualdades una por una y explicar el proceso para cada una:

### a. \( 3x + 2 < 8 \)

**Paso 1:** Resta 2 en ambos lados de la desigualdad para aislar el término que contiene a \( x \).

\[
3x + 2 - 2 < 8 - 2
\]

\[
3x < 6
\]

**Paso 2:** Divide ambos lados por 3 para despejar \( x \).

\[
x < \frac{6}{3}
\]

\[
x < 2
\]

**Solución:** \( x < 2 \)

### b. \( -2 < 2x - 3 \leq 5 \)

Esta es una desigualdad doble, por lo que resolveremos ambas partes por separado.

**Parte 1: Resolver \( -2 < 2x - 3 \)**

**Paso 1:** Suma 3 a ambos lados.

\[
-2 + 3 < 2x - 3 + 3
\]

\[
1 < 2x
\]

**Paso 2:** Divide ambos lados por 2.

\[
\frac{1}{2} < x
\]

\[
x > \frac{1}{2}
\]

**Parte 2: Resolver \( 2x - 3 \leq 5 \)**

**Paso 1:** Suma 3 a ambos lados.

\[
2x - 3 + 3 \leq 5 + 3
\]

\[
2x \leq 8
\]

**Paso 2:** Divide ambos lados por 2.

\[
x \leq \frac{8}{2}
\]

\[
x \leq 4
\]

**Solución completa:** \( \frac{1}{2} < x \leq 4 \) o en notación de intervalo \( \left(\frac{1}{2}, 4\right] \).

### c. \( \frac{2x + 1}{x + 2} < 0 \)

**Paso 1:** Para resolver esta desigualdad, analicemos el signo de la expresión en función de los valores de \( x \).

El numerador \( 2x + 1 \) debe ser negativo y el denominador \( x + 2 \) debe ser positivo para que la fracción sea negativa (o viceversa).

**Paso 2:** Resolver cuando \( 2x + 1 < 0 \) (numerador negativo):

\[
2x + 1 < 0
\]

\[
2x < -1
\]

\[
x < -\frac{1}{2}
\]

**Paso 3:** Resolver cuando \( x + 2 > 0 \) (denominador positivo):

\[
x > -2
\]

Entonces, para que la fracción sea negativa, \( x \) debe estar en el intervalo \( -2 < x < -\frac{1}{2} \).

**Solución:** \( -2 < x < -\frac{1}{2} \)

### d. \( |2x + 1| < 4 \)

**Paso 1:** La definición de valor absoluto nos da dos desigualdades:

\[
-4 < 2x + 1 < 4
\]

**Paso 2:** Resolver la desigualdad a la izquierda:

\[
-4 < 2x + 1
\]

Resta 1 de ambos lados:

\[
-5 < 2x
\]

Divide entre 2:

\[
-\frac{5}{2} < x
\]

**Paso 3:** Resolver la desigualdad a la derecha:

\[
2x + 1 < 4
\]

Resta 1 de ambos lados:

\[
2x < 3
\]

Divide entre 2:

\[
x < \frac{3}{2}
\]

**Solución completa:** \( -\frac{5}{2} < x < \frac{3}{2} \) o en notación de intervalo \( \left(-\frac{5}{2}, \frac{3}{2}\right) \).

---

¿Te gustaría obtener más detalles o tienes alguna pregunta sobre alguno de estos pasos?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se resuelve una desigualdad que involucra fracciones con \( x \) en el denominador?
2. ¿Cómo se interpreta la notación de intervalos en la solución de desigualdades?
3. ¿Qué sucede si multiplicas o divides ambos lados de una desigualdad por un número negativo?
4. ¿Cómo se pueden representar gráficamente las soluciones de estas desigualdades?
5. ¿Cuáles son los casos especiales al resolver desigualdades con valor absoluto?

### Consejo:
Cuando resuelvas desigualdades con valor absoluto, recuerda siempre considerar los dos casos (positivo y negativo) para asegurarte de cubrir todas las posibles soluciones.

Learn how to solve and explain four different types of inequalities step-by-step with detailed solutions. This problem covers inequalities involving absolute values, fractions, and multiple conditions. Suitable for high school students.

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