User
e^x - ln(x) -20 = 0 penyelesaian akar-akar persamaan menggunakan pendekat metode biseksi dengan error 0,000005 dengan xn 3 dan xn+1=4 jelaskan perhitungannya dengan lengkap serta pengulangannya

Untuk menyelesaikan persamaan \( e^x - \ln(x) - 20 = 0 \) menggunakan metode **biseksi** dengan batas awal \( x_n = 3 \) dan \( x_{n+1} = 4 \), serta error toleransi \( 0.000005 \), kita akan mengikuti langkah-langkah sistematis dari metode ini.

Metode biseksi bekerja dengan membagi dua interval, menguji nilai fungsi di tengah interval, dan kemudian mempersempit interval berdasarkan tanda dari fungsi pada titik tengah tersebut. Berikut adalah langkah-langkah perhitungannya:

### Langkah 1: Definisikan Fungsi

Fungsi yang akan kita cari akarnya adalah:

\[
f(x) = e^x - \ln(x) - 20
\]

Kita ingin mencari nilai \( x \) yang membuat \( f(x) = 0 \).

### Langkah 2: Tentukan Nilai Awal

Dari soal, kita diberi \( x_n = 3 \) dan \( x_{n+1} = 4 \). Maka, interval awalnya adalah \([3, 4]\).

#### Hitung \( f(3) \) dan \( f(4) \):
\[
f(3) = e^3 - \ln(3) - 20 = 20.0855 - 1.0986 - 20 = -0.0131
\]
\[
f(4) = e^4 - \ln(4) - 20 = 54.5982 - 1.3863 - 20 = 33.2119
\]

Dari sini, kita lihat bahwa \( f(3) \) bernilai negatif dan \( f(4) \) bernilai positif. Karena tanda-tanda \( f(3) \) dan \( f(4) \) berbeda, maka kita tahu bahwa terdapat akar di antara \( x = 3 \) dan \( x = 4 \).

### Langkah 3: Hitung Titik Tengah

Titik tengah dari interval \( [3, 4] \) adalah:

\[
x_{\text{mid}} = \frac{3 + 4}{2} = 3.5
\]

#### Hitung \( f(3.5) \):
\[
f(3.5) = e^{3.5} - \ln(3.5) - 20 = 33.1155 - 1.2528 - 20 = 11.8627
\]

Karena \( f(3.5) > 0 \), akar persamaan berada di antara \( 3 \) dan \( 3.5 \). Maka, kita perbarui interval menjadi \( [3, 3.5] \).

### Langkah 4: Iterasi Berikutnya

Ulangi proses ini untuk mempersempit interval hingga error (selisih antara titik tengah yang baru dan yang lama) lebih kecil dari \( 0.000005 \).

#### Iterasi 2:
Interval: \( [3, 3.5] \)
\[
x_{\text{mid}} = \frac{3 + 3.5}{2} = 3.25
\]
\[
f(3.25) = e^{3.25} - \ln(3.25) - 20 = 25.7903 - 1.1786 - 20 = 4.6117
\]
Karena \( f(3.25) > 0 \), perbarui interval menjadi \( [3, 3.25] \).

#### Iterasi 3:
Interval: \( [3, 3.25] \)
\[
x_{\text{mid}} = \frac{3 + 3.25}{2} = 3.125
\]
\[
f(3.125) = e^{3.125} - \ln(3.125) - 20 = 22.8125 - 1.1394 - 20 = 1.6731
\]
Karena \( f(3.125) > 0 \), perbarui interval menjadi \( [3, 3.125] \).

#### Iterasi 4:
Interval: \( [3, 3.125] \)
\[
x_{\text{mid}} = \frac{3 + 3.125}{2} = 3.0625
\]
\[
f(3.0625) = e^{3.0625} - \ln(3.0625) - 20 = 21.4181 - 1.1185 - 20 = 0.2996
\]
Karena \( f(3.0625) > 0 \), perbarui interval menjadi \( [3, 3.0625] \).

#### Iterasi 5:
Interval: \( [3, 3.0625] \)
\[
x_{\text{mid}} = \frac{3 + 3.0625}{2} = 3.03125
\]
\[
f(3.03125) = e^{3.03125} - \ln(3.03125) - 20 = 20.7381 - 1.1085 - 20 = 0.036
\]
Karena \( f(3.03125) > 0 \), perbarui interval menjadi \( [3, 3.03125] \).

#### Iterasi 6:
Interval: \( [3, 3.03125] \)
\[
x_{\text{mid}} = \frac{3 + 3.03125}{2} = 3.015625
\]
\[
f(3.015625) = e^{3.015625} - \ln(3.015625) - 20 = 20.4108 - 1.1035 - 20 = 0.0043
\]
Karena \( f(3.015625) > 0 \), perbarui interval menjadi \( [3, 3.015625] \).

#### Iterasi 7:
Interval: \( [3, 3.015625] \)
\[
x_{\text{mid}} = \frac{3 + 3.015625}{2} = 3.0078125
\]
\[
f(3.0078125) = e^{3.0078125} - \ln(3.0078125) - 20 = 20.2473 - 1.1011 - 20 = -0.004
\]
Karena \( f(3.0078125) < 0 \), perbarui interval menjadi \( [3.0078125, 3.015625] \).

### Penghentian

Proses diulangi hingga error toleransi terpenuhi. Pada iterasi akhir, interval akan semakin sempit sehingga \( |x_{\text{mid}}^{(i)} - x_{\text{mid}}^{(i-1)}| \) < \( 0.000005 \). Pada titik ini, kita dapat menyimpulkan bahwa akar persamaan berada pada titik tengah interval terakhir, dengan error yang diinginkan.

### Hasil Akhir
Dengan metode biseksi, akar persamaan terletak di sekitar \( x \approx 3.0078125 \) hingga mencapai error yang sangat kecil sesuai dengan toleransi.

**Apakah Anda ingin detail lebih lanjut atau memiliki pertanyaan lain?**

---

Berikut adalah beberapa pertanyaan yang terkait dengan langkah-langkah sebelumnya:
1. Bagaimana cara menghitung jumlah iterasi optimal untuk metode biseksi?
2. Apa yang terjadi jika interval awal tidak mengandung akar?
3. Bagaimana perbedaan metode biseksi dengan metode Newton-Raphson?
4. Bagaimana memilih nilai awal \( x_n \) dan \( x_{n+1} \) yang baik?
5. Mengapa metode biseksi selalu konvergen jika interval awal dipilih dengan benar?

**Tip**: Dalam metode biseksi, semakin besar interval awal, semakin banyak iterasi yang diperlukan untuk mencapai tingkat ketelitian yang tinggi.

e^x - ln(x) - 20 = 0 penyelesaian akar-akar persamaan menggunakan pendekat metode biseksi dengan error 0,000005 dengan xn 3 dan xn+1=4 jelaskan perhitungannya dengan lengkap serta pengulangannya

Learn how to solve the equation e^x - ln(x) - 20 = 0 using the bisection method, with an initial interval [3, 4] and an error tolerance of 0.000005. This step-by-step guide covers key numerical concepts and provides detailed iterations for a precise solution.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation