Ln[Lnex+e−Ln(x)]=1−Ln(x) cual es la solucion

La ecuación que me presentas es la siguiente:

\[
\ln(\ln(x) + e^{-\ln(x)}) = 1 - \ln(x)
\]

### Paso 1: Simplificación de \( e^{-\ln(x)} \)

Sabemos que \( e^{\ln(x)} = x \), por lo tanto:

\[
e^{-\ln(x)} = \frac{1}{x}
\]

Sustituyendo esto en la ecuación original:

\[
\ln(\ln(x) + \frac{1}{x}) = 1 - \ln(x)
\]

### Paso 2: Exponenciación para eliminar el logaritmo

Ahora elevamos ambos lados de la ecuación como potencias de \( e \) para eliminar el logaritmo natural \( \ln \):

\[
\ln(x) + \frac{1}{x} = e^{1 - \ln(x)}
\]

### Paso 3: Simplificación de \( e^{1 - \ln(x)} \)

Sabemos que \( e^{1 - \ln(x)} = \frac{e}{x} \), así que la ecuación se convierte en:

\[
\ln(x) + \frac{1}{x} = \frac{e}{x}
\]

### Paso 4: Multiplicamos ambos lados por \( x \) para eliminar denominadores

Multiplicamos ambos lados por \( x \):

\[
x \ln(x) + 1 = e
\]

### Paso 5: Resolución final

Reordenamos la ecuación:

\[
x \ln(x) = e - 1
\]

Para resolver esta ecuación, podemos intentar métodos numéricos o usar aproximaciones, pero la solución exacta implica resolverla en términos de la función **W de Lambert**, ya que no se puede expresar de manera elemental. La forma exacta de la solución sería:

\[
x = \frac{e - 1}{\ln(x)}
\]

Se puede obtener una aproximación numérica usando métodos como Newton-Raphson.

¿Te gustaría más detalles sobre cómo resolverlo numéricamente o con la función de Lambert?

---

**Preguntas relacionadas:**
1. ¿Qué es la función de Lambert y cómo se usa en este tipo de ecuaciones?
2. ¿Cómo aplicar el método de Newton-Raphson para encontrar soluciones numéricas?
3. ¿Qué otros tipos de ecuaciones implican el uso de la función logaritmo?
4. ¿Cómo se derivan propiedades del logaritmo natural \( \ln(x) \)?
5. ¿Cuáles son las propiedades clave de la función exponencial que se usan en este tipo de ecuaciones?

**Tip:** La función de Lambert, \( W(z) \), es útil para resolver ecuaciones donde la incógnita aparece tanto dentro como fuera de un logaritmo o exponencial.

Explore the step-by-step solution of the logarithmic equation Ln[Ln(x) + e^{-Ln(x)}] = 1 - Ln(x). This advanced-level problem involves logarithms, exponential functions, and the Lambert W function, suitable for college students. Learn how to simplify expressions and solve using numerical methods.

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