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RESUELVEME TODOS LOS EJERCICIOS DE ESTE DOCUMENTO DE MANERA COMPLETA Y CON TODO SU PROCEDIMIENTO, EVITA PONERME PALABRAS EN LA RESOLUCION DE LOS EJERCICIOS

Para resolver los ejercicios que has proporcionado, procederé a calcular cada uno de ellos mostrando el procedimiento de manera detallada pero sin usar palabras adicionales. Aquí te presento las soluciones:

---

**Ejercicio 1:**

Vectores dados:  
\( \mathbf{A} = \mathbf{a_x} + 3\mathbf{a_z} \)  
\( \mathbf{B} = 5\mathbf{a_x} - 6\mathbf{a_z} \)

**a) \( |\mathbf{A} + \mathbf{B}| \)**

\[
\mathbf{A} + \mathbf{B} = (\mathbf{a_x} + 3\mathbf{a_z}) + (5\mathbf{a_x} - 6\mathbf{a_z}) = (1 + 5)\mathbf{a_x} + (3 - 6)\mathbf{a_z} = 6\mathbf{a_x} - 3\mathbf{a_z}
\]

\[
|\mathbf{A} + \mathbf{B}| = \sqrt{(6)^2 + (-3)^2} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}
\]

**b) \( 5\mathbf{A} - \mathbf{B} \)**

\[
5\mathbf{A} = 5(\mathbf{a_x} + 3\mathbf{a_z}) = 5\mathbf{a_x} + 15\mathbf{a_z}
\]

\[
5\mathbf{A} - \mathbf{B} = (5\mathbf{a_x} + 15\mathbf{a_z}) - (5\mathbf{a_x} - 6\mathbf{a_z}) = 0\mathbf{a_x} + (15 + 6)\mathbf{a_z} = 21\mathbf{a_z}
\]

**c) Componente de \( \mathbf{A} \) a lo largo de \( \mathbf{a_y} \)**

\[
\text{Componente en } \mathbf{a_y} = 0
\]

**d) Vector unitario paralelo a \( 3\mathbf{A} + \mathbf{B} \)**

\[
3\mathbf{A} = 3(\mathbf{a_x} + 3\mathbf{a_z}) = 3\mathbf{a_x} + 9\mathbf{a_z}
\]

\[
3\mathbf{A} + \mathbf{B} = (3\mathbf{a_x} + 9\mathbf{a_z}) + (5\mathbf{a_x} - 6\mathbf{a_z}) = (3 + 5)\mathbf{a_x} + (9 - 6)\mathbf{a_z} = 8\mathbf{a_x} + 3\mathbf{a_z}
\]

\[
\text{Módulo de } 8\mathbf{a_x} + 3\mathbf{a_z} = \sqrt{8^2 + 3^2} = \sqrt{64 + 9} = \sqrt{73}
\]

\[
\text{Vector unitario} = \frac{1}{\sqrt{73}}(8\mathbf{a_x} + 3\mathbf{a_z})
\]

---

**Ejercicio 2:**

Puntos:  
\( P(0, 2, 4) \)  
\( Q(-3, 1, 5) \)

**a) Vector de posición de \( P \)**

\[
\mathbf{r_P} = 0\mathbf{a_x} + 2\mathbf{a_y} + 4\mathbf{a_z}
\]

**b) Vector de distancia de \( P \) a \( Q \)**

\[
\mathbf{PQ} = \mathbf{r_Q} - \mathbf{r_P} = (-3\mathbf{a_x} + 1\mathbf{a_y} + 5\mathbf{a_z}) - (0\mathbf{a_x} + 2\mathbf{a_y} + 4\mathbf{a_z}) = -3\mathbf{a_x} - \mathbf{a_y} + \mathbf{a_z}
\]

**c) Distancia entre \( P \) y \( Q \)**

\[
|\mathbf{PQ}| = \sqrt{(-3)^2 + (-1)^2 + (1)^2} = \sqrt{9 + 1 + 1} = \sqrt{11}
\]

---

**Ejercicio 3:**

Puntos:  
\( P(1, -3, 5) \)  
\( Q(2, 4, 6) \)  
\( R(0, 3, 8) \)

**a) Vectores de posición de \( P \) y \( Q \)**

\[
\mathbf{r_P} = 1\mathbf{a_x} - 3\mathbf{a_y} + 5\mathbf{a_z}
\]

\[
\mathbf{r_Q} = 2\mathbf{a_x} + 4\mathbf{a_y} + 6\mathbf{a_z}
\]

**b) Vector de distancia de \( Q \) a \( R \)**

\[
\mathbf{QR} = \mathbf{r_R} - \mathbf{r_Q} = (0\mathbf{a_x} + 3\mathbf{a_y} + 8\mathbf{a_z}) - (2\mathbf{a_x} + 4\mathbf{a_y} + 6\mathbf{a_z}) = -2\mathbf{a_x} - \mathbf{a_y} + 2\mathbf{a_z}
\]

---

**Ejercicio 4:**

Vector:  
\( \mathbf{A} = (5, 6) \)  
\( \mathbf{B} = (8, 3) \)  
\( \mathbf{C} = (4, 1) \)  
\( \mathbf{D} = (10, 15) \)  
\( \mathbf{E} = (20, 16) \)

**a) \( \mathbf{F} = \mathbf{A} + \mathbf{B} \)**

\[
\mathbf{F} = (5 + 8, 6 + 3) = (13, 9)
\]

**b) \( \mathbf{G} = \mathbf{C} + \mathbf{D} \)**

\[
\mathbf{G} = (4 + 10, 1 + 15) = (14, 16)
\]

**c) \( \mathbf{H} = \mathbf{E} - \mathbf{D} \)**

\[
\mathbf{H} = (20 - 10, 16 - 15) = (10, 1)
\]

**d) \( \mathbf{I} = \mathbf{A} + \mathbf{B} - \mathbf{D} + \mathbf{C} \)**

\[
\mathbf{I} = (5 + 8 - 10 + 4, 6 + 3 - 15 + 1) = (7, -5)
\]

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¿Quieres más detalles o tienes alguna pregunta sobre estas soluciones?

1. ¿Cómo se calcula la magnitud de un vector?
2. ¿Qué significa un vector unitario?
3. ¿Qué representa la componente de un vector en una dirección específica?
4. ¿Qué es un vector de posición?
5. ¿Cómo se calcula la distancia entre dos puntos en el espacio?

**Tip:** La magnitud de un vector en 3D se calcula usando la fórmula \(\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\), donde \(x\), \(y\) y \(z\) son las componentes del vector.

Explore detailed solutions to vector addition, subtraction, and distance calculation problems in 3D space. This page covers exercises involving vectors A, B, C, D, E and points P, Q, R, along with step-by-step procedures without additional words.

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