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El ejercicio 2 del documento presenta las siguientes instrucciones:

**Los puntos \( P \) y \( Q \) se localizan en \( P(0, 2, 4) \) y \( Q(-3, 1, 5) \). Se pide calcular:**

a) El vector de posición \( \vec{r}_P \).  
b) El vector de distancia de \( P \) a \( Q \).  
c) La distancia entre \( P \) y \( Q \).

### Solución:

**a) El vector de posición \( \vec{r}_P \):**

El vector de posición de un punto \( P(x, y, z) \) se define como el vector que va desde el origen hasta el punto \( P \). Para el punto \( P(0, 2, 4) \):

\[
\vec{r}_P = 0\hat{i} + 2\hat{j} + 4\hat{k} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}
\]

**b) El vector de distancia de \( P \) a \( Q \):**

El vector de distancia entre dos puntos \( P(x_1, y_1, z_1) \) y \( Q(x_2, y_2, z_2) \) se calcula como:

\[
\vec{d}_{PQ} = \vec{r}_Q - \vec{r}_P = \begin{pmatrix} x_2 - x_1 \\ y_2 - y_1 \\ z_2 - z_1 \end{pmatrix}
\]

Sustituyendo los valores de \( P(0, 2, 4) \) y \( Q(-3, 1, 5) \):

\[
\vec{d}_{PQ} = \begin{pmatrix} -3 - 0 \\ 1 - 2 \\ 5 - 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}
\]

**c) La distancia entre \( P \) y \( Q \):**

La distancia entre dos puntos \( P(x_1, y_1, z_1) \) y \( Q(x_2, y_2, z_2) \) en el espacio tridimensional es la magnitud del vector de distancia:

\[
d_{PQ} = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}
\]

Sustituyendo los valores:

\[
d_{PQ} = \sqrt{(-3 - 0)^2 + (1 - 2)^2 + (5 - 4)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-1)^2 + (1)^2} = \sqrt{9 + 1 + 1} = \sqrt{11}
\]

### Respuestas:
a) \( \vec{r}_P = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} \).  
b) \( \vec{d}_{PQ} = \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \).  
c) \( d_{PQ} = \sqrt{11} \).

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo se determina el vector unitario a lo largo de la dirección de \( PQ \)?
2. ¿Cuál es el vector de posición de \( Q \) y cómo se representa?
3. ¿Cómo se representa la distancia entre \( P \) y \( Q \) en función de un parámetro \( t \)?
4. ¿Cómo se calculan los ángulos entre los vectores \( \vec{r}_P \) y \( \vec{d}_{PQ} \)?
5. ¿Qué propiedades tiene el vector de distancia en diferentes sistemas de coordenadas?

### Tip:
Recuerda que los vectores de posición se utilizan para definir la ubicación de un punto en un sistema de coordenadas, y su magnitud no depende de la orientación del sistema.

Learn how to calculate the vector position and distance between points in three-dimensional space with detailed solutions. This problem covers vectors in space, including vector position and distance formulas. Suitable for high school students.

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