Sea L:M2.2-------M2.2 la transformación lineal definida como L(Y)= [(1&1@2&1)]^T matriz 2x2  Y - Y[(1&1@2&1)]^T matriz 2x2
a) Determine una base para nuc(L)
b) Determine una base para la Im(L).

Para abordar este problema, definamos la transformación lineal \( L \) y luego determinemos las bases para el núcleo (\(\text{Nuc}(L)\)) y la imagen (\(\text{Im}(L)\)).

### Definición de \( L \)
La transformación lineal \( L \) está definida por:

\[
L(\mathbf{Y}) = 
\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
2 & 1
\end{pmatrix}
\mathbf{Y} - \mathbf{Y}
\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
2 & 1
\end{pmatrix}
\]

donde \(\mathbf{Y}\) es una matriz \(2 \times 2\).

### a) Base para el núcleo de \( L \) (\(\text{Nuc}(L)\))

El núcleo de una transformación lineal contiene todos los vectores \(\mathbf{Y}\) tales que \( L(\mathbf{Y}) = \mathbf{0} \). Así, debemos resolver la ecuación:

\[
\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
2 & 1
\end{pmatrix}
\mathbf{Y} - \mathbf{Y}
\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
2 & 1
\end{pmatrix} = \mathbf{0}
\]

Sea \(\mathbf{Y} = \begin{pmatrix} y_{11} & y_{12} \\ y_{21} & y_{22} \end{pmatrix}\). Entonces:

\[
\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
2 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} y_{11} & y_{12} \\ y_{21} & y_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y_{11} + y_{21} & y_{12} + y_{22} \\ 2y_{11} + y_{21} & 2y_{12} + y_{22} \end{pmatrix}
\]

y 

\[
\begin{pmatrix} y_{11} & y_{12} \\ y_{21} & y_{22} \end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
2 & 1
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y_{11} + 2y_{12} & y_{11} + y_{12} \\ y_{21} + 2y_{22} & y_{21} + y_{22} \end{pmatrix}
\]

Restando estos dos productos, tenemos:

\[
L(\mathbf{Y}) = \begin{pmatrix} 0 & y_{12} - y_{21} \\ 2y_{12} - y_{21} & 0 \end{pmatrix} = \mathbf{0}
\]

De esto, obtenemos las ecuaciones:
1. \( y_{12} - y_{21} = 0 \)
2. \( 2y_{12} - y_{21} = 0 \)

Solucionando estas ecuaciones, encontramos que \( y_{12} = y_{21} \) y \( y_{12} = 0 \). Por lo tanto, el núcleo se caracteriza por matrices de la forma \(\begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & d \end{pmatrix}\), donde \( a \) y \( d \) son reales. Así, una base para el núcleo es:

\[
\text{Base de Nuc}(L) = \left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \right\}
\]

### b) Base para la imagen de \( L \) (\(\text{Im}(L)\))

Para encontrar una base para la imagen de \( L \), aplicamos \( L \) a una base del dominio y buscamos los vectores generados. Sabemos que \(\text{Im}(L)\) se define por todos los posibles resultados de \( L(\mathbf{Y}) \).

Para determinar los vectores en la imagen, consideremos la expresión para \( L(\mathbf{Y}) \):

\[
L(\mathbf{Y}) = \begin{pmatrix} 0 & y_{12} - y_{21} \\ 2y_{12} - y_{21} & 0 \end{pmatrix}
\]

Observamos que los vectores generados tienen sus componentes superiores e inferiores dependientes de \( y_{12} \) y \( y_{21} \). Tomando estos vectores como vectores independientes de \(\mathbb{R}^2\), encontramos que:

\[
\text{Base de Im}(L) = \left\{ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \right\}
\]

¿Necesitas más detalles o alguna explicación adicional?

---

**Preguntas relacionadas:**

1. ¿Cómo se determina la dimensión del núcleo de una transformación lineal?
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6. ¿Qué significa que una transformación lineal sea inyectiva?
7. ¿Cómo afecta el rango de una matriz a la solución de sistemas de ecuaciones lineales?
8. ¿Qué técnicas se pueden usar para encontrar una base de un subespacio vectorial?

**Tip:** Al trabajar con matrices y transformaciones lineales, es fundamental dominar el concepto de rango y cómo afecta al núcleo y la imagen de la transformación.

Explore how to determine the null space and image of a linear transformation defined by a specific matrix operation. Learn about matrix operations, null space characterization, and the basis for the image of a linear transformation.

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