 Seja F ∈ L(R
3
, R
2
) definida por F(x, y, z) = (x + z, y − 2x). Determine (F)B,C,
sendo B = {(1, 2, 1),(0, 1, 1),(0, 3, −1)} e C = {(1, 5),(2, −1)}.

Para determinar a matriz de \( F \) em relação às bases \( B = \{(1, 2, 1), (0, 1, 1), (0, 3, -1)\} \) e \( C = \{(1, 5), (2, -1)\} \), precisamos seguir os seguintes passos:

1. **Aplicar a transformação \( F \) aos vetores da base \( B \)**:
   A transformação \( F \colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2 \) é definida como:
   \[
   F(x, y, z) = (x + z, y - 2x)
   \]

   Vamos aplicar \( F \) aos vetores da base \( B \):

   - Para \( v_1 = (1, 2, 1) \):
     \[
     F(v_1) = F(1, 2, 1) = (1 + 1, 2 - 2 \cdot 1) = (2, 0)
     \]

   - Para \( v_2 = (0, 1, 1) \):
     \[
     F(v_2) = F(0, 1, 1) = (0 + 1, 1 - 2 \cdot 0) = (1, 1)
     \]

   - Para \( v_3 = (0, 3, -1) \):
     \[
     F(v_3) = F(0, 3, -1) = (0 - 1, 3 - 2 \cdot 0) = (-1, 3)
     \]

2. **Escrever os vetores resultantes como combinações lineares dos vetores da base \( C \)**:
   Agora, devemos expressar cada um dos vetores resultantes \( F(v_1), F(v_2), F(v_3) \) como combinações lineares dos vetores da base \( C = \{(1, 5), (2, -1)\} \).

   - Para \( F(v_1) = (2, 0) \), queremos encontrar \( a_1, a_2 \) tais que:
     \[
     (2, 0) = a_1(1, 5) + a_2(2, -1)
     \]
     Isso nos dá o sistema:
     \[
     \begin{cases}
     a_1 + 2a_2 = 2 \\
     5a_1 - a_2 = 0
     \end{cases}
     \]
     Resolvendo o sistema, obtemos \( a_1 = \frac{2}{11} \) e \( a_2 = \frac{10}{11} \).

   - Para \( F(v_2) = (1, 1) \), queremos encontrar \( b_1, b_2 \) tais que:
     \[
     (1, 1) = b_1(1, 5) + b_2(2, -1)
     \]
     Isso nos dá o sistema:
     \[
     \begin{cases}
     b_1 + 2b_2 = 1 \\
     5b_1 - b_2 = 1
     \end{cases}
     \]
     Resolvendo o sistema, obtemos \( b_1 = \frac{7}{11} \) e \( b_2 = -\frac{3}{11} \).

   - Para \( F(v_3) = (-1, 3) \), queremos encontrar \( c_1, c_2 \) tais que:
     \[
     (-1, 3) = c_1(1, 5) + c_2(2, -1)
     \]
     Isso nos dá o sistema:
     \[
     \begin{cases}
     c_1 + 2c_2 = -1 \\
     5c_1 - c_2 = 3
     \end{cases}
     \]
     Resolvendo o sistema, obtemos \( c_1 = \frac{4}{11} \) e \( c_2 = -\frac{3}{11} \).

3. **Construir a matriz de \( F \) nas bases \( B \) e \( C \)**:
   A matriz de \( F \) em relação às bases \( B \) e \( C \) é formada pelos coeficientes obtidos nas combinações lineares anteriores, ou seja:

   \[
   [F]_{B,C} =
   \begin{pmatrix}
   \frac{2}{11} & \frac{7}{11} & \frac{4}{11} \\
   \frac{10}{11} & -\frac{3}{11} & -\frac{3}{11}
   \end{pmatrix}
   \]

Essa é a matriz de \( F \) nas bases \( B \) e \( C \).

Caso tenha dúvidas ou queira mais detalhes, fico à disposição! Aqui estão algumas questões relacionadas:

1. O que acontece se mudarmos as bases \( B \) e \( C \)?
2. Como podemos determinar a matriz de uma transformação linear em bases canônicas?
3. Qual a interpretação geométrica de uma transformação linear?
4. Como resolvemos sistemas lineares usando matrizes?
5. Como expressar uma transformação linear como uma matriz em coordenadas homogêneas?

**Dica**: Lembre-se de que a matriz de uma transformação linear depende tanto da transformação quanto das bases escolhidas!

Seja F ∈ L(R^3, R^2) definida por F(x, y, z) = (x + z, y − 2x). Determine (F)B,C, sendo B = {(1, 2, 1),(0, 1, 1),(0, 3, −1)} e C = {(1, 5),(2, −1)}.

Explore how to determine the matrix of a linear transformation F: R^3 -> R^2 with the bases B = {(1, 2, 1), (0, 1, 1), (0, 3, −1)} and C = {(1, 5), (2, −1)}. This detailed solution includes applying the transformation, solving linear systems, and constructing the matrix representation. Suitable for undergraduate students studying linear algebra.

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