Dada a matriz ﻿A espaço igual a espaço abre colchetes tabela linha com 1 célula com menos 1 fim da célula linha com célula com menos 2 fim da célula 2 fim da tabela fecha colchetes﻿, considere a transformação linear TA associada à matriz A. Assinale a alternativa CORRETA:


TA é sobrejetora.


N(TA) ≠ 0, em que 0 é o vetor nulo e N(TA) é o núcleo de TA.


TA(0,1) = (0, -2).


O conjunto {TA(1,0), TA(0,1)} é base do R2.


TA é injetora.

Vamos analisar a transformação linear \( T_A \) associada à matriz \( A \), que é dada por:

\[
A = \begin{pmatrix} -1 \\ -2 & 2 \end{pmatrix}
\]

A transformação linear \( T_A \) aplicada a um vetor \( \mathbf{v} = (x, y) \) no espaço vetorial \( \mathbb{R}^2 \) é definida por:

\[
T_A(\mathbf{v}) = A \mathbf{v}
\]

Para \( \mathbf{v} = (x, y) \), isso significa que:

\[
T_A(x, y) = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ -2 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \cdot x \\ -2 \cdot x + 2 \cdot y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -x \\ -2x + 2y \end{pmatrix}
\]

Agora, vamos analisar cada uma das alternativas:

1. **\( T_A \) é sobrejetora:**
   Para verificar se \( T_A \) é sobrejetora, precisamos saber se a imagem de \( T_A \) é todo o espaço \( \mathbb{R}^2 \). Para isso, a matriz \( A \) deve ter posto igual a 2 (o que significa que as colunas de \( A \) são linearmente independentes). Como \( A \) é uma matriz \( 2 \times 2 \), vamos calcular seu determinante:

   \[
   \text{det}(A) = (-1) \cdot 2 - (-2) \cdot 0 = -2 \neq 0
   \]

   Como o determinante é diferente de zero, \( A \) tem posto 2 e \( T_A \) é, de fato, sobrejetora.

2. **\( N(T_A) \neq \{0\} \), em que \( 0 \) é o vetor nulo e \( N(T_A) \) é o núcleo de \( T_A \):**
   O núcleo \( N(T_A) \) é o conjunto de vetores \( \mathbf{v} \) que são mapeados para o vetor nulo. Vamos encontrar \( N(T_A) \) resolvendo \( T_A(x, y) = \mathbf{0} \):

   \[
   \begin{pmatrix} -x \\ -2x + 2y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}
   \]

   Isso implica que:

   \[
   -x = 0 \quad \text{e} \quad -2x + 2y = 0
   \]

   Da primeira equação, \( x = 0 \). Substituindo na segunda:

   \[
   -2(0) + 2y = 0 \quad \Rightarrow \quad y = 0
   \]

   Portanto, \( N(T_A) = \{(0,0)\} \), ou seja, \( N(T_A) = \{0\} \), e a alternativa está errada.

3. **\( T_A(0,1) = (0, -2) \):**
   Calculando \( T_A(0,1) \):

   \[
   T_A(0,1) = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ -2 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 \\ -2 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix}
   \]

   Portanto, \( T_A(0,1) = (0, 2) \), e a alternativa está errada.

4. **O conjunto \( \{T_A(1,0), T_A(0,1)\} \) é base do \( \mathbb{R}^2 \):**
   Vamos calcular os vetores \( T_A(1,0) \) e \( T_A(0,1) \):

   \[
   T_A(1,0) = \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \end{pmatrix}, \quad T_A(0,1) = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix}
   \]

   Para verificar se formam uma base, devemos verificar se são linearmente independentes. Como o determinante da matriz formada por esses vetores é diferente de zero, eles são linearmente independentes e, portanto, formam uma base.

   \[
   \text{det} \left( \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ -2 & 2 \end{pmatrix} \right) = -1 \cdot 2 - 0 \cdot (-2) = -2 \neq 0
   \]

   Assim, essa alternativa está correta.

5. **\( T_A \) é injetora:**
   \( T_A \) é injetora se \( N(T_A) = \{0\} \). Como vimos anteriormente, isso é verdadeiro. Portanto, essa alternativa também está correta.

### Resposta correta:
**O conjunto \( \{T_A(1,0), T_A(0,1)\} \) é base do \( \mathbb{R}^2 \)**.

### Detalhes ou perguntas?
Aqui estão 5 perguntas relacionadas ao conteúdo:
1. O que significa uma transformação linear ser injetora?
2. Como o determinante de uma matriz se relaciona com a sobrejetividade de uma transformação linear?
3. Por que o núcleo de uma transformação linear é importante?
4. Como podemos determinar se um conjunto de vetores forma uma base em \( \mathbb{R}^n \)?
5. O que é o posto de uma matriz e como ele afeta as propriedades de uma transformação linear?

**Dica**: Quando encontrar o núcleo de uma transformação linear, sempre comece resolvendo \( T_A(\mathbf{v}) = \mathbf{0} \) para descobrir todos os vetores \( \mathbf{v} \) que são mapeados para o vetor nulo.

Explore the properties of linear transformations and matrix operations through the analysis of a specific linear transformation associated with a given matrix. This problem involves concepts like matrix multiplication, determinant calculation, and the Rank-Nullity Theorem.

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