Si 𝐴 y 𝐵 son dos puntos distintos. Entonces (AB) ⃡=(AB) ⃗  ∩ (BA) ⃗     

La afirmación indica que la recta que pasa por los puntos \( A \) y \( B \), denotada por \( \overleftrightarrow{AB} \), es igual a la intersección de los segmentos dirigidos \( \overrightarrow{AB} \) y \( \overrightarrow{BA} \). Veamos cómo demostrar esta afirmación.

### Definiciones:
1. **Recta \( \overleftrightarrow{AB} \):** 
   - Es la recta que pasa por los puntos \( A \) y \( B \) y se extiende infinitamente en ambas direcciones.

2. **Vector \( \overrightarrow{AB} \):** 
   - Es el vector dirigido desde \( A \) hacia \( B \). El segmento \( AB \) en este caso es considerado desde \( A \) hasta \( B \), pero no incluye más allá de estos puntos.

3. **Vector \( \overrightarrow{BA} \):**
   - Es el vector dirigido desde \( B \) hacia \( A \). El segmento \( BA \) es considerado desde \( B \) hasta \( A \), pero no incluye más allá de estos puntos.

### Análisis de la afirmación:
- **\( \overleftrightarrow{AB} = \overrightarrow{AB} \cap \overrightarrow{BA} \)**

  - La recta \( \overleftrightarrow{AB} \) contiene todos los puntos que se pueden alcanzar extendiendo la línea a través de \( A \) y \( B \) en ambas direcciones. Esto incluye puntos tanto en la dirección de \( \overrightarrow{AB} \) como en la dirección de \( \overrightarrow{BA} \).

  - El vector \( \overrightarrow{AB} \) contiene todos los puntos desde \( A \) hasta \( B \) extendiéndose más allá de \( B \) en esa misma dirección, mientras que el vector \( \overrightarrow{BA} \) contiene todos los puntos desde \( B \) hasta \( A \) extendiéndose más allá de \( A \) en la dirección opuesta.

  - La **intersección** \( \overrightarrow{AB} \cap \overrightarrow{BA} \) incluye exactamente todos los puntos de la recta que se encuentran en la línea que pasa por \( A \) y \( B \), es decir, los puntos que están comúnmente en \( \overrightarrow{AB} \) y \( \overrightarrow{BA} \). Estos son todos los puntos de la recta infinita \( \overleftrightarrow{AB} \).

### Conclusión:
La recta \( \overleftrightarrow{AB} \) que pasa por \( A \) y \( B \) es efectivamente igual a la intersección de los segmentos dirigidos \( \overrightarrow{AB} \) y \( \overrightarrow{BA} \). Es decir:

\[
\overleftrightarrow{AB} = \overrightarrow{AB} \cap \overrightarrow{BA}
\]

Esto es cierto porque la intersección toma en cuenta todos los puntos en la línea que se extiende infinitamente en ambas direcciones a través de \( A \) y \( B \).

¿Te gustaría alguna aclaración adicional?

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**Preguntas relacionadas:**

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**Tip:** La intersección de conjuntos de puntos es una herramienta poderosa en geometría para entender cómo diferentes entidades geométricas se relacionan entre sí.

Explore the relationship between directed segments and lines in geometry. Learn how the line passing through points A and B is equal to the intersection of directed segments AB and BA. Detailed explanation with geometric concepts and examples.

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