Dada la solución general \( y = c_1 \ln(x) + c_2 e^x + c_3 \sin(x) \), podemos encontrar la ecuación diferencial correspondiente. 

1. Primero, derivamos \( y \) respecto a \( x \) para obtener la primera derivada:

\[
y' = \frac{c_1}{x} + c_2 e^x + c_3 \cos(x)
\]

2. Ahora, derivamos nuevamente para obtener la segunda derivada:

\[
y'' = -\frac{c_1}{x^2} + c_2 e^x - c_3 \sin(x)
\]

3. Observamos que las funciones \( \ln(x) \), \( e^x \), y \( \sin(x) \) están presentes en la solución general. Queremos eliminar las constantes \( c_1 \), \( c_2 \), y \( c_3 \), y combinar las derivadas de manera que obtengamos una ecuación homogénea.

Podemos combinar estas derivadas para formar la ecuación diferencial. Multiplicando la primera derivada por \( x \):

\[
x y' = c_1 + c_2 x e^x + c_3 x \cos(x)
\]

Restamos esta ecuación de la segunda derivada multiplicada por \( x^2 \):

\[
x^2 y'' + x y' - y = 0
\]

Esta es la ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden que corresponde a la solución general dada:

\[
x^2 y'' + x y' - y = 0
\]

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### Tip
En ecuaciones diferenciales, identificar las funciones en la solución general te ayuda a formular la ecuación diferencial correcta.

Explore the solution to the differential equation y=c1lnx + c2e^x + c3senx with detailed step-by-step derivation. Understand the integration of ln(x), exponential function e^x, and sine function sen(x) in the general solution. Suitable for college-level students studying differential equations.

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