1. En cada literal, obtenga todas las funciones que satisfacen las condiciones dadas
(a) ⋆f
′
(x) = 3e
x + x y f(0) = 4
(b) ⋆f
′′(x) = 12x
2 + 2e
x
, f(0) = 3 y f
′
(0) = 2.
(c) ⋆f
′′′(x) = sen(x) − e
x


Vamos a resolver cada uno de los literales de forma secuencial, obteniendo las funciones \( f(x) \) que satisfacen las condiciones dadas.

---

### (a) \( f'(x) = 3e^x + x \), con \( f(0) = 4 \)

1. **Primera integración:**
   La derivada de la función es \( f'(x) = 3e^x + x \). Para obtener \( f(x) \), integramos ambos lados respecto a \( x \):
   \[
   f(x) = \int (3e^x + x) \, dx
   \]
   Descomponemos la integral:
   \[
   f(x) = \int 3e^x \, dx + \int x \, dx
   \]
   Las integrales son:
   \[
   f(x) = 3e^x + \frac{x^2}{2} + C_1
   \]
   Donde \( C_1 \) es la constante de integración.

2. **Aplicamos la condición inicial:**
   Sabemos que \( f(0) = 4 \), entonces sustituimos \( x = 0 \) en la ecuación obtenida:
   \[
   f(0) = 3e^0 + \frac{0^2}{2} + C_1 = 4
   \]
   Esto nos da:
   \[
   3 + C_1 = 4 \quad \Rightarrow \quad C_1 = 1
   \]
   Entonces, la función es:
   \[
   f(x) = 3e^x + \frac{x^2}{2} + 1
   \]

---

### (b) \( f''(x) = 12x^2 + 2e^x \), con \( f(0) = 3 \) y \( f'(0) = 2 \)

1. **Primera integración:**
   Para obtener \( f'(x) \), integramos \( f''(x) \):
   \[
   f'(x) = \int (12x^2 + 2e^x) \, dx
   \]
   Las integrales son:
   \[
   f'(x) = 4x^3 + 2e^x + C_2
   \]
   Donde \( C_2 \) es una constante de integración.

2. **Aplicamos la condición \( f'(0) = 2 \):**
   Sustituyendo \( x = 0 \) en la ecuación de \( f'(x) \):
   \[
   f'(0) = 4(0)^3 + 2e^0 + C_2 = 2
   \]
   Esto da:
   \[
   2 + C_2 = 2 \quad \Rightarrow \quad C_2 = 0
   \]
   Entonces, \( f'(x) = 4x^3 + 2e^x \).

3. **Segunda integración:**
   Ahora integramos \( f'(x) \) para obtener \( f(x) \):
   \[
   f(x) = \int (4x^3 + 2e^x) \, dx
   \]
   Las integrales son:
   \[
   f(x) = x^4 + 2e^x + C_3
   \]

4. **Aplicamos la condición \( f(0) = 3 \):**
   Sustituyendo \( x = 0 \) en la ecuación de \( f(x) \):
   \[
   f(0) = (0)^4 + 2e^0 + C_3 = 3
   \]
   Esto da:
   \[
   2 + C_3 = 3 \quad \Rightarrow \quad C_3 = 1
   \]
   Entonces, la función es:
   \[
   f(x) = x^4 + 2e^x + 1
   \]

---

### (c) \( f'''(x) = \sin(x) - e^x \)

1. **Primera integración:**
   Para obtener \( f''(x) \), integramos \( f'''(x) \):
   \[
   f''(x) = \int (\sin(x) - e^x) \, dx
   \]
   Las integrales son:
   \[
   f''(x) = -\cos(x) - e^x + C_4
   \]
   Donde \( C_4 \) es una constante de integración.

2. **Segunda integración:**
   Ahora integramos \( f''(x) \) para obtener \( f'(x) \):
   \[
   f'(x) = \int (-\cos(x) - e^x + C_4) \, dx
   \]
   Las integrales son:
   \[
   f'(x) = -\sin(x) - e^x + C_4x + C_5
   \]
   Donde \( C_5 \) es una constante de integración.

3. **Tercera integración:**
   Integramos nuevamente para obtener \( f(x) \):
   \[
   f(x) = \int (-\sin(x) - e^x + C_4x + C_5) \, dx
   \]
   Las integrales son:
   \[
   f(x) = \cos(x) - e^x + \frac{C_4x^2}{2} + C_5x + C_6
   \]
   Donde \( C_6 \) es una constante de integración.

Como no tenemos condiciones iniciales, la solución es la más general:
\[
f(x) = \cos(x) - e^x + \frac{C_4x^2}{2} + C_5x + C_6
\]

---

### Resumen de las soluciones:

(a) \( f(x) = 3e^x + \frac{x^2}{2} + 1 \)  
(b) \( f(x) = x^4 + 2e^x + 1 \)  
(c) \( f(x) = \cos(x) - e^x + \frac{C_4x^2}{2} + C_5x + C_6 \)

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

---

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**Tip**: En las ecuaciones diferenciales, las constantes de integración permiten ajustar la solución general a las condiciones específicas del problema.

En cada literal, obtenga todas las funciones que satisfacen las condiciones dadas (a) f'(x) = 3e^x + x con f(0) = 4 (b) f''(x) = 12x^2 + 2e^x , f(0) = 3 y f'(0) = 2. (c) f'''(x) = sen(x) − e^x

Learn how to solve initial value problems for differential equations involving exponential and trigonometric functions. This detailed solution includes step-by-step integration of first, second, and third-order derivatives, applying initial conditions to find the constants. Suitable for university-level students studying calculus or differential equations.

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