una parabola cuyo vertice esta en el origen y cuyo eje coincide con el eje y, pasa por el punto (-3,6). Hallar la ecuación de la parabola, las coordenadas del foco, ecuación de la directriz y el lado recto.

Dada una parábola cuyo vértice está en el origen \((0, 0)\) y cuyo eje coincide con el eje \(y\), la ecuación general de la parábola se puede expresar como:

\[
x^2 = 4py
\]

Donde \(p\) es la distancia desde el vértice hasta el foco.

### Paso 1: Encontrar \(p\)

Sabemos que la parábola pasa por el punto \((-3, 6)\), por lo que podemos sustituir estas coordenadas en la ecuación de la parábola para encontrar el valor de \(p\):

\[
(-3)^2 = 4p(6)
\]

\[
9 = 24p
\]

\[
p = \frac{9}{24} = \frac{3}{8}
\]

### Paso 2: Ecuación de la parábola

Sustituyendo \(p = \frac{3}{8}\) en la ecuación general de la parábola:

\[
x^2 = 4 \left(\frac{3}{8}\right) y
\]

Simplificando:

\[
x^2 = \frac{3}{2}y
\]

O también:

\[
x^2 = 1.5y
\]

### Paso 3: Coordenadas del foco

El foco de la parábola se encuentra a una distancia \(p\) del vértice en la dirección del eje \(y\). Como \(p = \frac{3}{8}\), el foco tiene las coordenadas:

\[
F\left(0, \frac{3}{8}\right)
\]

### Paso 4: Ecuación de la directriz

La directriz es una línea horizontal a la misma distancia del vértice que el foco, pero en la dirección opuesta. Dado que \(p = \frac{3}{8}\), la directriz es:

\[
y = -\frac{3}{8}
\]

### Paso 5: Longitud del lado recto

El lado recto es el segmento que pasa por el foco y es perpendicular al eje de la parábola, con una longitud igual a \(|4p|\). En este caso, \(|4p| = 4 \times \frac{3}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}\).

### Resumen de los resultados

- **Ecuación de la parábola:** \(x^2 = \frac{3}{2}y\) o \(x^2 = 1.5y\)
- **Coordenadas del foco:** \(F\left(0, \frac{3}{8}\right)\)
- **Ecuación de la directriz:** \(y = -\frac{3}{8}\)
- **Longitud del lado recto:** \(\frac{3}{2}\) o \(1.5\)

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se determina la dirección en la que se abre la parábola a partir del valor de \(p\)?
2. ¿Qué significado tiene el valor \(p\) en la ecuación de la parábola?
3. ¿Cómo se calcula la longitud del lado recto en diferentes tipos de parábolas?
4. ¿Cómo afecta la posición del punto dado a la forma de la parábola?
5. ¿Qué diferencias hay en la forma de la parábola si se cambia el valor de \(p\)?

**Tip:** La distancia \(p\) no solo determina la ubicación del foco y la directriz, sino que también afecta la "apertura" de la parábola: valores de \(p\) más pequeños resultan en una parábola más cerrada, mientras que valores más grandes resultan en una parábola más abierta.

Aprende a encontrar la ecuación de una parábola con vértice en el origen y eje coincidente con el eje y. Incluye la determinación de las coordenadas del foco, la ecuación de la directriz y la longitud del lado recto. Ideal para estudiantes de secundaria interesados en geometría analítica.

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