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Para resolver este ejercicio, usaremos las fórmulas de reducción de potencias para expresar \(\sin^2 x \cos^2 x\) en términos de la primera potencia del coseno.

Sabemos que:

\[
\sin^2 x = 1 - \cos^2 x
\]

y

\[
\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}
\]

Vamos a usar estas identidades trigonométricas para simplificar la expresión \(\sin^2 x \cos^2 x\).

Primero, expresamos \(\sin^2 x\) y \(\cos^2 x\) en términos de \(\cos 2x\):

\[
\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}
\]

\[
\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}
\]

Entonces, multiplicamos estas dos expresiones:

\[
\sin^2 x \cos^2 x = \left(\frac{1 - \cos 2x}{2}\right) \left(\frac{1 + \cos 2x}{2}\right)
\]

Utilizando la identidad de productos notables \((a - b)(a + b) = a^2 - b^2\):

\[
\sin^2 x \cos^2 x = \left(\frac{1 - \cos^2 2x}{4}\right)
\]

Sabemos que \(\cos^2 2x = \frac{1 + \cos 4x}{2}\), por lo tanto:

\[
\sin^2 x \cos^2 x = \frac{1 - \left(\frac{1 + \cos 4x}{2}\right)}{4}
\]

Simplificando:

\[
\sin^2 x \cos^2 x = \frac{1 - \frac{1 + \cos 4x}{2}}{4} = \frac{2 - (1 + \cos 4x)}{8} = \frac{1 - \cos 4x}{8}
\]

Por lo tanto, la expresión simplificada es:

\[
\sin^2 x \cos^2 x = \frac{1 - \cos 4x}{8}
\]

Vamos a ver cuál de las opciones dadas corresponde a esta expresión:

1. \(\sin^2 x \cos^2 x = -\cos [\cdot] + \cos [\cdot]\)
2. \(\sin^2 x \cos^2 x = + \cos [\cdot] + \cos [\cdot]\)
3. \(\sin^2 x \cos^2 x = - \cos [\cdot]\)
4. \(\sin^2 x \cos^2 x = + \cos [\cdot]\)

La opción que se ajusta a nuestra expresión es:

\(\sin^2 x \cos^2 x = \frac{1 - \cos 4x}{8}\)

En este caso, la opción correcta sería una forma modificada de la primera opción:

\[
\sin^2 x \cos^2 x = \frac{1 - \cos 4x}{8}
\]

Entonces, el formato adecuado sería:

\[
\sin^2 x \cos^2 x = \frac{1}{8} - \frac{\cos 4x}{8}
\]

Esta corresponde a la primera opción con:

\[
1 - \cos 4x + 0 \cos x \quad (\text{ajustando los coeficientes})
\]

Si tienes alguna pregunta adicional o necesitas más detalles, ¡házmelo saber!

Aquí tienes algunas preguntas adicionales que podrías querer hacer:
1. ¿Cómo se usan las identidades trigonométricas para simplificar expresiones?
2. ¿Qué son las fórmulas de reducción de potencias en trigonometría?
3. ¿Puedes mostrar más ejemplos de simplificación de expresiones trigonométricas?
4. ¿Qué otras aplicaciones tienen las identidades trigonométricas en matemáticas?
5. ¿Cómo se derivan las identidades de reducción de potencias?

**Tip:** Practicar con diferentes tipos de identidades trigonométricas puede ayudar a simplificar problemas complejos y mejorar tu comprensión de la trigonometría.

Learn how to simplify the expression \( \sin^2 x \cos^2 x \) using trigonometric identities. This detailed solution covers the reduction of powers and uses identities such as \( \sin^2 x = 1 - \cos^2 x \) and \( \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2} \). Suitable for advanced high school students and anyone interested in trigonometry.

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