Ecrire sans radical au dénominateur et simplifier les expressions suivantes : I= 1+√5
—
3-√5

Pour simplifier l'expression donnée \( I = \frac{1 + \sqrt{5}}{3 - \sqrt{5}} \) et éliminer le radical au dénominateur, nous devons multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.

### Étape 1 : Identifier le conjugué
Le conjugué de \( 3 - \sqrt{5} \) est \( 3 + \sqrt{5} \).

### Étape 2 : Multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué
\[
I = \frac{1 + \sqrt{5}}{3 - \sqrt{5}} \times \frac{3 + \sqrt{5}}{3 + \sqrt{5}}
\]

### Étape 3 : Effectuer les multiplications

**Numérateur :**
\[
(1 + \sqrt{5}) \times (3 + \sqrt{5}) = 1 \times 3 + 1 \times \sqrt{5} + \sqrt{5} \times 3 + \sqrt{5} \times \sqrt{5} 
\]
\[
= 3 + \sqrt{5} + 3\sqrt{5} + 5 = 8 + 4\sqrt{5}
\]

**Dénominateur :**
\[
(3 - \sqrt{5}) \times (3 + \sqrt{5}) = 3^2 - (\sqrt{5})^2 = 9 - 5 = 4
\]

### Étape 4 : Réécrire l'expression simplifiée
\[
I = \frac{8 + 4\sqrt{5}}{4}
\]

### Étape 5 : Simplifier l'expression
Le numérateur et le dénominateur ont un facteur commun de 4, donc on peut simplifier :
\[
I = \frac{4(2 + \sqrt{5})}{4} = 2 + \sqrt{5}
\]

L'expression finale simplifiée est donc :
\[
I = 2 + \sqrt{5}
\]

---

Voulez-vous plus de détails sur cette méthode ou avez-vous des questions? Voici quelques questions supplémentaires pour approfondir la compréhension :

1. Qu'est-ce qu'un nombre conjugué et comment l'utilise-t-on?
2. Comment développer des produits de binômes incluant des racines carrées?
3. Pourquoi le produit de deux conjugués élimine-t-il les racines carrées dans le dénominateur?
4. Que se passerait-il si le numérateur contenait lui aussi un radical?
5. Comment simplifier une expression si les termes du numérateur n'ont pas de facteur commun?
6. Quelle est l'importance des identités remarquables dans la simplification des expressions algébriques?
7. Comment traiter les expressions où il y a plusieurs radicaux au numérateur et au dénominateur?
8. Quels autres types d'expressions peuvent être simplifiés en utilisant des conjugués?

**Astuce :** Quand vous simplifiez des expressions avec des radicaux, cherchez toujours à utiliser le conjugué du dénominateur pour éliminer les radicaux et simplifier l'expression.

Learn how to simplify the expression (1 + √5) / (3 - √5) using conjugates. This detailed solution eliminates radicals from the denominator and simplifies the expression step-by-step. Suitable for high school students studying advanced algebraic techniques.

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