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Para resolver la expresión \( \frac{5 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}} \), necesitamos racionalizar el denominador. Esto implica eliminar la raíz cuadrada que aparece en el denominador.

### Pasos para racionalizar la fracción:

1. **Multiplicar por el conjugado**: El conjugado del denominador \(2 - \sqrt{2}\) es \(2 + \sqrt{2}\). Multiplicamos tanto el numerador como el denominador por este conjugado:
   \[
   \frac{5 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}} \times \frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}} = \frac{(5 - \sqrt{2})(2 + \sqrt{2})}{(2 - \sqrt{2})(2 + \sqrt{2})}
   \]

2. **Multiplicar los términos**:
   - Para el numerador \( (5 - \sqrt{2})(2 + \sqrt{2}) \):
     \[
     = 5(2 + \sqrt{2}) - \sqrt{2}(2 + \sqrt{2})
     \]
     \[
     = 5 \cdot 2 + 5 \cdot \sqrt{2} - \sqrt{2} \cdot 2 - \sqrt{2} \cdot \sqrt{2}
     \]
     \[
     = 10 + 5\sqrt{2} - 2\sqrt{2} - 2
     \]
     \[
     = (10 - 2) + (5\sqrt{2} - 2\sqrt{2})
     \]
     \[
     = 8 + 3\sqrt{2}
     \]

   - Para el denominador \( (2 - \sqrt{2})(2 + \sqrt{2}) \) (es una diferencia de cuadrados):
     \[
     = 2^2 - (\sqrt{2})^2
     \]
     \[
     = 4 - 2
     \]
     \[
     = 2
     \]

3. **Escribir la fracción resultante**:
   Ahora que hemos simplificado el numerador y el denominador, la fracción queda:
   \[
   \frac{8 + 3\sqrt{2}}{2}
   \]

4. **Simplificar la fracción**:
   Podemos dividir cada término del numerador entre 2:
   \[
   = \frac{8}{2} + \frac{3\sqrt{2}}{2}
   \]
   \[
   = 4 + \frac{3\sqrt{2}}{2}
   \]

### Respuesta final:
La fracción racionalizada es \( 4 + \frac{3\sqrt{2}}{2} \).

---

¿Te gustaría una explicación más detallada sobre alguno de los pasos? Aquí tienes 5 preguntas relacionadas:

1. ¿Qué es el conjugado de un binomio con raíces cuadradas?
2. ¿Por qué es necesario usar el conjugado para racionalizar denominadores?
3. ¿Cómo se aplica la propiedad de la diferencia de cuadrados?
4. ¿Cómo se simplifican términos con radicales?
5. ¿Cuándo se considera completamente racionalizada una expresión?

**Tip**: Multiplicar por el conjugado es útil en muchas situaciones para eliminar raíces en el denominador, y se basa en la propiedad de diferencia de cuadrados.

Racionalizar la siguiente expresión: (5 - √2) / (2 - √2).

Learn how to rationalize the expression (5 - √2) / (2 - √2) by multiplying by the conjugate and using the difference of squares theorem. This math problem involves radicals and algebraic simplification, suitable for Grades 10-12.

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