Soit   x>0
 .  Nous voulons éliminer les racines carrées du dénominateur de l'expression

5–√+x−−√5–√−x−−√
 
a) Pour cela, il faut qu'on multiplie le numérateur et le dénominateur de cette fraction par quel facteur ?
Après avoir multiplié et divisé par votre réponse en (a), et simplifié, vous obtenez une nouvelle expression.

b) Quel sera le nouveau dénominateur ? 
Quel sera le nouveau numérateur ? 

Nous avons l'expression suivante à simplifier en éliminant les racines carrées du dénominateur :

\[
\frac{\sqrt{5} + \sqrt{x}}{\sqrt{5} - \sqrt{x}}
\]

### a) Facteur de multiplication pour éliminer les racines

Pour éliminer les racines carrées au dénominateur, il faut multiplier le numérateur et le dénominateur par le **conjugué** du dénominateur, qui est \(\sqrt{5} + \sqrt{x}\). En effet, le produit d'une différence et d'une somme de deux termes sous racines carrées donne une différence de carrés, ce qui élimine les racines.

Ainsi, nous devons multiplier par :

\[
\frac{\sqrt{5} + \sqrt{x}}{\sqrt{5} + \sqrt{x}}
\]

### b) Nouveau dénominateur et numérateur

En multipliant le numérateur et le dénominateur par \(\sqrt{5} + \sqrt{x}\), nous avons :

- **Nouveau dénominateur** : \((\sqrt{5} - \sqrt{x})(\sqrt{5} + \sqrt{x})\)

Utilisons l'identité remarquable \((a - b)(a + b) = a^2 - b^2\), avec \(a = \sqrt{5}\) et \(b = \sqrt{x}\). Cela donne :

\[
(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{x})^2 = 5 - x
\]

Le nouveau dénominateur est donc \(5 - x\).

- **Nouveau numérateur** : \((\sqrt{5} + \sqrt{x})^2\)

Développons cette expression à l'aide de l'identité \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\), avec \(a = \sqrt{5}\) et \(b = \sqrt{x}\) :

\[
(\sqrt{5})^2 + 2\sqrt{5}\sqrt{x} + (\sqrt{x})^2 = 5 + 2\sqrt{5x} + x
\]

Le nouveau numérateur est donc \(5 + 2\sqrt{5x} + x\).

### Conclusion :
L'expression simplifiée devient :

\[
\frac{5 + 2\sqrt{5x} + x}{5 - x}
\]

---

Voulez-vous des détails supplémentaires ou avez-vous des questions ?  
Voici 5 questions relatives pour approfondir :

1. Pourquoi utiliser le conjugué pour éliminer les racines au dénominateur ?
2. Quelle est l'importance des identités remarquables dans ce type de simplifications ?
3. Comment la méthode des conjugués pourrait-elle s'appliquer à d'autres expressions avec des racines carrées ?
4. Que se passe-t-il si \(x = 5\) dans l'expression obtenue ?
5. Quelle est la condition pour que cette méthode soit valable ?

**Conseil** : Lorsque vous travaillez avec des racines carrées dans les fractions, pensez toujours à vérifier si un conjugué peut simplifier l'expression.

Soit x > 0. Nous voulons éliminer les racines carrées du dénominateur de l'expression (√5 + √x) / (√5 - √x). a) Pour cela, il faut qu'on multiplie le numérateur et le dénominateur de cette fraction par quel facteur ? Après avoir multiplié et divisé par votre réponse en (a), et simplifié, vous obtenez une nouvelle expression. b) Quel sera le nouveau dénominateur ? Quel sera le nouveau numérateur ?

Learn how to simplify the expression (√5 + √x) / (√5 - √x) by eliminating square roots from the denominator using conjugates. This detailed solution involves multiplying by the conjugate and applying algebraic identities like the difference of squares and the square of a binomial. Suitable for students in Grades 9-11.

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