rendre irreductible la fraction 756 sur 441 en détaillan tout les calculs

Pour rendre la fraction \( \frac{756}{441} \) irréductible, il faut simplifier la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par leur plus grand commun diviseur (PGCD).

### Étape 1 : Décomposer les nombres en facteurs premiers

Commençons par la décomposition en facteurs premiers de 756 et 441.

**Décomposition de 756 :**
756 est un nombre pair, donc divisible par 2 :
\[
756 \div 2 = 378
\]
378 est encore pair, donc on divise encore par 2 :
\[
378 \div 2 = 189
\]
189 est impair, donc on essaie de le diviser par 3 :
\[
189 \div 3 = 63
\]
63 est divisible par 3 :
\[
63 \div 3 = 21
\]
21 est encore divisible par 3 :
\[
21 \div 3 = 7
\]
7 est un nombre premier.

Donc, la décomposition en facteurs premiers de 756 est :
\[
756 = 2^2 \times 3^3 \times 7
\]

**Décomposition de 441 :**
441 est impair, essayons de le diviser par 3 :
\[
441 \div 3 = 147
\]
147 est encore divisible par 3 :
\[
147 \div 3 = 49
\]
49 est divisible par 7 :
\[
49 \div 7 = 7
\]
7 est premier.

Donc, la décomposition en facteurs premiers de 441 est :
\[
441 = 3^2 \times 7^2
\]

### Étape 2 : Trouver le PGCD

Le PGCD est le produit des facteurs premiers communs aux deux nombres avec leurs plus petites puissances.

Les facteurs communs à 756 et 441 sont \(3\) et \(7\).

- Le plus petit exposant pour \(3\) est \(2\).
- Le plus petit exposant pour \(7\) est \(1\).

Donc, le PGCD de 756 et 441 est :
\[
\text{PGCD}(756, 441) = 3^2 \times 7 = 9 \times 7 = 63
\]

### Étape 3 : Simplifier la fraction

On divise le numérateur et le dénominateur par leur PGCD :
\[
\frac{756}{441} = \frac{756 \div 63}{441 \div 63} = \frac{12}{7}
\]

### Conclusion

La fraction \( \frac{756}{441} \) sous forme irréductible est :
\[
\boxed{\frac{12}{7}}
\]

---

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Voici quelques questions connexes pour approfondir :
1. Comment trouver rapidement le PGCD de deux nombres sans les décomposer en facteurs premiers ?
2. Quelle est l'utilité de simplifier une fraction en mathématiques ?
3. Quelles sont les propriétés des nombres premiers et pourquoi sont-ils importants ?
4. Comment calculer la simplification d'une fraction si les nombres sont très grands ?
5. Quelles sont les applications des fractions irréductibles dans la vie quotidienne ?

**Astuce :** En utilisant l'algorithme d'Euclide, on peut trouver le PGCD de deux nombres plus efficacement sans passer par la décomposition en facteurs premiers.

Apprenez à rendre la fraction 756/441 irréductible en utilisant la décomposition en facteurs premiers et le calcul du PGCD. Cette solution détaillée couvre les concepts mathématiques des fractions, du PGCD, et de la simplification. Adapté aux élèves de la 6ème à la 8ème année.

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