Determine se cada sequˆencia ´e crescente, decrescente ou n˜ao mon´otona.
(a) {(−1)n}
(b) 
ln (n
2 + 1)	
(c) e
n
n2
	
(d) n
1
−1−n
o
(e) a1 = 2, an =
1+an−1
2
, para n ≥ 2
(f) a1 = 1, an =
1
1+an−1
, para n ≥ 2

Vamos analisar cada sequência para determinar se é crescente, decrescente ou não monótona.

### (a) Sequência \(\{(-1)^n\}\)

A sequência alterna entre -1 e 1 para \(n = 1, 2, 3, \ldots\):

- Para \(n = 1\), \((-1)^1 = -1\)
- Para \(n = 2\), \((-1)^2 = 1\)
- Para \(n = 3\), \((-1)^3 = -1\)

A sequência não é monótona, pois oscila entre -1 e 1. Portanto, **não é crescente nem decrescente**.

### (b) Sequência \(\ln(n^2 + 1)\)

Vamos analisar o comportamento da função \(\ln(n^2 + 1)\):

1. Derivada: \(\frac{d}{dn} \ln(n^2 + 1) = \frac{2n}{n^2 + 1}\)
   
   Para \(n \geq 0\), temos \(\frac{2n}{n^2 + 1} \geq 0\). Assim, a derivada é positiva para \(n \geq 0\), indicando que a função é crescente.

Portanto, a sequência \(\{\ln(n^2 + 1)\}\) é **crescente**.

### (c) Sequência \(\frac{e^n}{n^2}\)

Vamos analisar o comportamento da sequência \(\frac{e^n}{n^2}\):

1. Quando \(n\) é pequeno, como 1 ou 2, \(\frac{e^n}{n^2}\) cresce.
2. Mas conforme \(n\) cresce, o denominador \(n^2\) cresce mais lentamente que o numerador \(e^n\), de modo que a sequência cresce inicialmente, mas eventualmente começa a decrescer.

Portanto, a sequência **não é monótona**.

### (d) Sequência \(n^{1 - \frac{1}{n}}\)

Vamos reescrever a sequência: \(a_n = n^{1 - \frac{1}{n}}\).

1. Quando \(n \rightarrow \infty\), o termo \(\frac{1}{n} \rightarrow 0\), então \(a_n \approx n^1 = n\).
2. Para \(n\) pequeno, há um comportamento crescente até se estabilizar. A sequência é geralmente crescente.

Portanto, a sequência é **crescente**.

### (e) Sequência recursiva: \(a_1 = 2, \, a_n = \frac{1 + a_{n-1}}{2}\), para \(n \geq 2\)

Vamos analisar o comportamento da sequência recursiva:

1. Para \(a_1 = 2\), temos \(a_2 = \frac{1 + 2}{2} = \frac{3}{2}\).
2. Para \(a_3 = \frac{1 + \frac{3}{2}}{2} = \frac{5}{4}\), e assim por diante.

Observa-se que a sequência está decrescendo conforme \(a_n > a_{n+1}\).

Portanto, a sequência é **decrescente**.

### (f) Sequência recursiva: \(a_1 = 1, \, a_n = \frac{1}{1 + a_{n-1}}\), para \(n \geq 2\)

Vamos analisar o comportamento da sequência recursiva:

1. Para \(a_1 = 1\), temos \(a_2 = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}\).
2. Para \(a_3 = \frac{1}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3}\).

Observa-se que a sequência alterna entre valores maiores e menores. Portanto, é **não monótona**.

### Resumo:

(a) Não monótona.  
(b) Crescente.  
(c) Não monótona.  
(d) Crescente.  
(e) Decrescente.  
(f) Não monótona.

Se precisar de mais detalhes ou tiver dúvidas, me avise!

### Perguntas Relacionadas:
1. Como encontrar se uma sequência é monótona usando derivadas?
2. Como determinar se uma sequência é limitada ou não?
3. Quais são os critérios para uma sequência ser convergente?
4. O que significa uma sequência ser estritamente crescente ou decrescente?
5. Quais métodos podem ser usados para analisar sequências recursivas?

**Dica:** Em uma sequência recursiva, sempre verifique os primeiros termos e o comportamento à medida que \(n\) cresce para identificar padrões de monotonicidade.

Explore the analysis of sequences for monotonicity - whether they are increasing, decreasing, or non-monotonic. Includes detailed solutions and explanations for sequences such as (-1)^n, ln(n^2 + 1), e^n / n^2, n^(1 - 1/n), and recursive sequences. Suitable for advanced high school students and anyone interested in sequence analysis.

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