Debe determinar el máximo absoluto y el mínimo absoluto de la función f(x,y)=(x2+y2)e−2x
 en el dominio circular D
 definido por x2+y2≤1
. Para hacerlo, estudie los puntos críticos de f
 que pertenecen al dominio circular D
 y clasifíquelos por medio del criterio de la derivada segunda. Además, analice los valores extremos de f
 en la frontera de D
, por ejemplo por el método de multiplicadores de Lagrange

Para determinar el máximo absoluto y el mínimo absoluto de la función \( f(x,y) = (x^2 + y^2)e^{-2x} \) en el dominio circular \( D \) definido por \( x^2 + y^2 \leq 1 \), seguiremos los siguientes pasos:

### 1. **Cálculo de los puntos críticos en el interior del dominio**

Primero, encontramos los puntos críticos de \( f(x, y) \) en el interior del dominio \( D \). Los puntos críticos se obtienen resolviendo el sistema de ecuaciones dado por las derivadas parciales de \( f \) con respecto a \( x \) e \( y \).

#### Derivadas parciales:
\[
f_x = \frac{\partial}{\partial x} \left( (x^2 + y^2)e^{-2x} \right) = 2x e^{-2x} - 2(x^2 + y^2)e^{-2x}
\]
\[
f_y = \frac{\partial}{\partial y} \left( (x^2 + y^2)e^{-2x} \right) = 2y e^{-2x}
\]

Para encontrar los puntos críticos, igualamos las derivadas parciales a cero:
\[
f_x = 2x e^{-2x} - 2(x^2 + y^2)e^{-2x} = 0
\]
\[
f_y = 2y e^{-2x} = 0
\]

De la ecuación \( f_y = 0 \), se deduce que \( y = 0 \). Sustituyendo \( y = 0 \) en \( f_x = 0 \):

\[
2x e^{-2x} - 2x^2 e^{-2x} = 0
\]
\[
2x e^{-2x}(1 - x) = 0
\]

De esta ecuación, \( x = 0 \) o \( x = 1 \). Entonces, los puntos críticos dentro del dominio son \( (0,0) \) y \( (1,0) \).

### 2. **Criterio de la derivada segunda**

Para clasificar los puntos críticos, usamos el criterio de la derivada segunda. Calculamos las segundas derivadas:

\[
f_{xx} = \frac{\partial}{\partial x}(2x e^{-2x} - 2x^2 e^{-2x}) = 2e^{-2x}(1 - 4x + 2x^2)
\]
\[
f_{yy} = \frac{\partial}{\partial y}(2y e^{-2x}) = 2 e^{-2x}
\]
\[
f_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}(2x e^{-2x} - 2x^2 e^{-2x}) = 0
\]

El determinante de la matriz Hessiana \( H \) es:
\[
\text{Det}(H) = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2
\]

Evaluando en \( (0,0) \):
\[
f_{xx}(0,0) = 2, \quad f_{yy}(0,0) = 2, \quad f_{xy}(0,0) = 0
\]
\[
\text{Det}(H)(0,0) = 2 \times 2 - 0 = 4 > 0
\]

Como \( f_{xx}(0,0) > 0 \) y \( \text{Det}(H)(0,0) > 0 \), el punto \( (0,0) \) es un mínimo local.

Evaluando en \( (1,0) \):
\[
f_{xx}(1,0) = 2e^{-2}(1 - 4 + 2) = -4e^{-2}, \quad f_{yy}(1,0) = 2e^{-2}, \quad f_{xy}(1,0) = 0
\]
\[
\text{Det}(H)(1,0) = (-4e^{-2}) \times (2e^{-2}) - 0 = -8e^{-4} < 0
\]

Como \( \text{Det}(H)(1,0) < 0 \), el punto \( (1,0) \) es un punto de silla.

### 3. **Extremos en la frontera usando multiplicadores de Lagrange**

Para analizar los valores extremos en la frontera \( x^2 + y^2 = 1 \), utilizamos el método de multiplicadores de Lagrange.

Definimos la función Lagrangiana:
\[
\mathcal{L}(x,y,\lambda) = (x^2 + y^2)e^{-2x} + \lambda(x^2 + y^2 - 1)
\]

Derivamos con respecto a \( x \), \( y \), y \( \lambda \):
\[
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = 2x e^{-2x} - 2(x^2 + y^2)e^{-2x} + 2\lambda x = 0
\]
\[
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} = 2y e^{-2x} + 2\lambda y = 0
\]
\[
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = x^2 + y^2 - 1 = 0
\]

De la ecuación con respecto a \( y \), podemos tener \( y = 0 \) o \( \lambda = -e^{-2x} \).

#### Caso 1: \( y = 0 \)
En este caso, \( x^2 = 1 \), por lo que los puntos en la frontera son \( (1,0) \) y \( (-1,0) \).

#### Caso 2: \( \lambda = -e^{-2x} \)
Aquí resolvemos simultáneamente con la ecuación de \( x^2 + y^2 = 1 \), lo que da diferentes valores dependiendo de la región, pero no introduce nuevos puntos críticos.

### 4. **Evaluación de los puntos en el dominio**

Finalmente, evaluamos \( f(x,y) \) en los puntos críticos y en los puntos de la frontera para determinar los valores extremos:

\[
f(0,0) = 0
\]
\[
f(1,0) = e^{-2}
\]
\[
f(-1,0) = e^{2}
\]

### Conclusión:
- El **mínimo absoluto** de \( f(x,y) \) en el dominio \( D \) es 0 en \( (0,0) \).
- El **máximo absoluto** de \( f(x,y) \) en el dominio \( D \) es \( e^2 \) en \( (-1,0) \).

¿Quieres más detalles o tienes alguna pregunta?

**Preguntas Relacionadas:**

1. ¿Cómo afectan los multiplicadores de Lagrange en la optimización de funciones con restricciones?
2. ¿Qué implica que un punto sea de silla?
3. ¿Cómo se puede generalizar este método a dominios no circulares?
4. ¿Qué pasaría si el dominio fuera un cuadrado en lugar de un círculo?
5. ¿Cómo se interpretan gráficamente los puntos críticos y extremos en este caso?

**Tip:** Al trabajar con el criterio de la derivada segunda, la matriz Hessiana y su determinante son herramientas clave para clasificar los puntos críticos.

Learn how to maximize and minimize the function f(x, y) = (x^2 + y^2)e^{-2x} over the circular domain defined by x^2 + y^2 ≤ 1. Explore critical points, second derivative test classification, and Lagrangian multipliers for boundary evaluations. Suitable for advanced undergraduate students studying optimization theory.

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